П.3. Уравнения высших степеней.

Общие алгоритмы решения целых уравнений для n=3 и n=4 в науке известны, но в современной общеобразовательной школе не изучаются, для n≥5 таких алгоритмов не существует. Изучаются приемы решения лишь отдельных видов таких уравнений. Используются приёмы: 1) замена переменных, позволяющая свести решение данного уравнения степени n≥3 к квадратным или линейным уравнениям; 2) нахождение рациональных корней по обобщенным теоремам Виета и последующее понижение степени уравнения;3) преобразование левой части уравнения в произведение и использование условия равенства нулю произведения.

Определение.Уравнение вида , где a≠0, называют биквадратным.

Биквадратное уравнение сводится с помощью заменяя к квадратному . Если это квадратное уравнение не имеет корней, то и биквадратное уравнение также не имеет корней. Каждый коренmt₁и t₂квадратного уравнения порождает неполное квадратное уравнение x²= t₁ или x²= t₂. Корни последних квадратных уравнений и будут являться корнями биквадратного уравнения.

Из обобщенной теоремы Виета следует, что если - рациональный корень уравнения (4), то p– делитель a₀, а q- делитель a_n. Если a_n=1, то рациональные корни – целые.

Например.

1) - биквадратное уравнение. Пусть x²=t. Тогда , . Ответ:

2) - биквадратное уравнение. Пусть x²=t. Тогда , D=25-136<0, корней нет. Ответ: Ø.

3) - биквадратное уравнение. Пусть x²=t. Тогда , . - корней не имеет; . Ответ: .

Пример, целое уравнение четвертой степени. Попытаемся найти целее корни уравнении среди делителей свободного члена 150:

Итак, 2 и 3 – корни данного уравнения. Значит, левая часть уравнения делится на . Выделим этот множитель из многочлена методом группировки

.

Можно придти к этому же результату делением многочлена на многочлен . Итак, данное уравнение можно представить в виде совокупности квадратных уравнений или ; . Ответ: .