П.2. Квадратные уравнения.

Определение.Уравнение называется квадратным, если с помощью равносильных преобразований его можно привести к виду , где . Например, .

Левая часть квадратного уравнения – многочлен второй степени, a– старший коэффициент, c– свободный член, b– коэффициент линейного одночлена.

Алгоритм решения представим в виде схемы:

Dназывается дискриминантом уравнения. Если D<0, то корней нет, если D=0, то корень один , если D>0, то два корня .

Пример. , . . D>0. Значит уравнение имеет два корня ,

. Ответ: -2,5; 3.

Неполные квадратные уравнения удобно решать не по общему алгоритму, а по специальным алгоритмам.

Если с = 0, то уравнение (1) принимает вид и преобразуется к виду . Используя условие равенства нулю произведения (произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю и другой при этом сохранит смысл), получаем совокупность двух линейных уравнений или

Если B=0, то уравнение (1) принимает вид или . Если заменить ну букву m, то уравнение примет вид . Ввиду того, что для всех и тогда и только тогда, когда , уравнение (2) не имеет корней, если a<0, имеет один корень х=0, если a>0, и имеет два корня и .

Примеры.

1) ; х=0 или х = 0 или х = 2,5. Ответ:0; 2,5.

2) . Ответ: ;

Теорема Виета: «Если x₁, x₂– корни уравнения (1), то пара (x₁, x₂) является решением системы неравенств: и можно использовать для проверки корней.

Например, если числа -2,5 и 3 являются корнями уравнения , то ,

Теорему обратную теореме Виета: «Если пара (x₁, x₂) является решение системы (3), то x₁, x₂– корни уравнения (1)», можно использовать для нахождения рациональных корней уравнения (1); если а=1, то такие корни целые.

Например, имеет корнями числа 2 и 3, т.к. (2;3) – решение системы уравнении : Поиск целых решений основан на переборе делителей числа с=6, , удовлетворяющих второму уравнению системы.