Основные понятия. Виды уравнений. Виды преобразований.

Уравнение есть равенство двух выражений с переменными, относительно которого ставиться вопрос о существовании и нахождении тех покрытий, на которых равенство принимает истинное значение. Каждое такое покрытие называют решением уравнения. Решить уравнение – значит найти множество всех его решений или доказать, что решений нет.

Областью определения уравнения (областью допустимых значение ОДЗ) называется множество всех покрытий, на которых существует каждое выражение, входящее в равенство. Например, определено для и , т.е. ОДЗ = , т.к. нельзя делить на нуль и извлекать квадратный корень из отрицательного числа.

Множество решений уравнения является подмножеством его области допустимых значений.

По количеству входящих в уравнение переменных уравнения подразделяются на уравнения с одной переменной и на уравнения с несколькими переменными. Решение уравнения с одной переменной называют корнем уравнения, это – некоторое число. Решение уравнения с двумя переменными – пара чисел, с тремя – тройка чисел и т.д.

В зависимости от того какого вида выражения входят в уравнение выделяют алгебраические и трансцендентные (неалгебраические), рациональные и иррациональные, целые и дробные, показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения. Целые уравнения подразделяются на линейные, квадратные и уравнения степеней выше второй.

В теорию каждого вида уравнений входят алгоритмы их решения. Данное уравнение или относят или преобразуют к известному виду. В процессе решения уравнений используются в основном равносильные и выводные преобразования, с помощью которых от данного уравнения переходят к более простым уравнениям.

Два уравнения называются равносильными, если совпадают их множества решений. Переход от уравнения к равносильному ему уравнению называется равносильным преобразованием.

К равносильным преобразованиям относят:

1) замену любого выражения, входящего в уравнение, на тождественно равное ему выражение, не являющееся ОДЗ уравнения;

2) преобразования, основанные на свойствах равенств:

а) к обеим частям уравнения можно прибавлять, из обеих частей уравнения можно отнимать одно и то же выражение, имеющее смысл в ОДЗ.

б) любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком;

в) обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же выражение, имеющее смысл и отличное от нуля в ОДЗ;

г) обе части уравнения можно возвести в одну и ту же нечетную степень;

д) если обе части уравнения неотрицательны в ОДЗ, то их можно возвести в оду и ту же четную степень;

з) преобразования, основанные на свойстве монотонности функций, например, показательной и логарифмической.

Пример:

№ п/п	уравнение	преобразование
		Замена выражения на тождественно равное выражение
		Перенос выражение -6из левой части уравнения в правую, а выражения 2х из правой части в левую.
		Замена выражения и на тождественно равные 5х и 10
		Деление обеих частей уравнения на 5 ≠ 0.

Если множество решений первого уравнения есть подмножество множества решений второго уравнения, что говорят, что второе уравнение следует их первого, замену первого на второе называют выводным преобразованием. Чтобы два уравнения, были равносильными необходимо и достаточно, что бы они следовали друг из друга.

К выводным преобразованиям относятся:

1) замены выражений на им тождественно равные, но имеющие более широкую область определения, например, выражение определено для х>0 и у>0,поэтому замена выражения в уравнении на выражение - выводное преобразование;

2) удаление из обоих частей уравнения одного и того же выражения, которое расширяет ОДЗ уравнения, например и ;

3) умножение обеих частей уравнения на выражение, которое в ОДЗ данного уравнения принимает нулевые значения, например, и ;

4) возведение обеих частей уравнения в честную степень (это преобразование от истинного равенства всегда приводит к истинному, но может и от ложного привести к истинному, например, -2=2 – ложное выражение (-2)²=2² – истинное).

Расширение ОДЗ уравнения происходит при освобождении от корней четной степени, от знаков логарифмов, от знаменателей, содержащих переменную.

Использование выводных преобразований должно сопровождаться проверкой, будут ли решения последнего уравнения в цепочке выводных и равносильных преобразований решениями исходного уравнения; если нет, то такие решения называют посторонними для исходного уравнения, и в ответе их не записывают.

Если проверка корней с помощью подстановки в исходное уравнение сопряжена со значительными вычислительными трудностями, то можно точные вычисления заменить прикидками, проверять условия, при которых проведенные преобразования будут равносильными.

Некоторые преобразования, например, деление обеих частей уравнения, на одно и то же выражение с переменной, суждение ОДЗ и другие преобразования, обратные выводным, могут привести к потере решений. Исключить потерю решений можно методом перебора случаев: кроме условия, приводящего к потере решений, рассматривают все альтернативные ему условия.

При решении уравнений надо на каждом шаге отдавать отчет, какой вид преобразований использован и не допускать потери корней и посторонних корней. Типичные примеры рассмотрим в последующих параграфах.