Операции, обратные тригонометрическим.

принимает все свои значения, которые заполняют отрезок , когда α пробегает отрезок и . Обратное соответствие так же взаимно однозначное и его называют арксинусом и обозначают: .

Определение. Арксинусом числа называется число b, синус которого равен α. если , и

Примеры. и . Значит,
, значит

, значит

принимает все свои значения, которые заполняют отрезок , когда α пробегает отрезок , причем каждое сове значение косинус принимает в единственной точке, т.е. косинус задает взаимно однозначное соответствие между отрезками и . Обратное соответствие называется арккосинусом и обозначается .

Определение. Арккосинусом числа называется число , косинус которого равен а.

, если и .

Примеры. , т.к. и .

, т.к. и .

Отрезок на оси OY– ось синуса, на оси OX– ось косинуса. Касательная к окружности, параллельная оси OYи проходящая через точку Р₀ – ось тангенса. Касательная к единичной окружности, параллельная оси OXи проходящая через точку - ось котангенса. Оси тангенса и котангенса наделены такими же структурами, что и координатные оси, которым они параллельны.

взаимно однозначно отображает дугу в ось тангенсов, т.е. в интервал . Обратное отображение называется арктангенсом и обозначается и .

Определение. Арктангенсом числа называется число , тангенс которого равен а. , если и .

Примеры. , т.к. и ;

, т.к. и .

Определение. Арккотангенсом числа называется число , и такое что .

Например, , т.к. и .

В области определения выражений справедливы следующие тождества:

, , , , , , , , ,

Примеры. Вычислим:

c. .

d. (знак «+» перед корнем берется ввиду того, что ).

Контрольные вопросы к главе II.

1) Что называется областью определения выражения?

2) Дайте определение тождественно равных выражений и тождества.

3) Дайте определения одночлена и многочлена.

4) Какие одночлены называются подобными?

5) Дайте определения степени одночлена и степени многочлена. Какова степени многочлена ?

6) Сформулируйте правила раскрытия скобок, умножения многочлен на многочлен и многочлена на одночлен.

7) Что значит разложить многочлен на множители? Перечислите известные способы такого преобразования.

8) Дайте определение рациональной дроби. Будут ли рациональными дробями выражения ?

9) Дайте определение иррационального выражения.

10) Дайте определение подобных иррациональных выражений.

11) Дайте определение сопряженных иррациональных выражений. Приведите примеры.

12) Запишите х-у по формуле 1)для разности квадратов, 2) для разности кубов.

13) Дайте определение степенного и показательного выражения. Приведите примеры.

14) Дайте определение логарифма.

15) Сформулируйте свойства логарифмов.

16) Дайте определение синуса, косинуса и тангенса острого угла.

17) Дайте определение координатной окружности.

18) Дайте определение единичной тригонометрической окружности.

19) Дайте определение синуса (косинуса) произвольного числа.

20) Дайте определение тангенса (котангенса) произвольного числа.

21) Запишите основные тригонометрические тождества и следствия из них.

22) Запишите формулы приведения и правило для запоминания.

23) Формулы сложения, формулы двойных и половинных аргументов.

24) Формулы для преобразования произведений и тригонометрических выражений в сумму или разность.

25) Как преобразовать выражение вида в синус или косинус?

Упражнения к главе 2.

1) Составьте таблицу значений выражения для =0; 1; 9; 25.

2) Найдите область определения выражения .

3) Упростите выражение и вычислите при ч=2,25.

4) Разложите на множители:

d. .

5) Упростите выражение:

e. , если х≤7;

f. при x>5;

6) Найдите значение выражения:

7) Зная, что , , найдите значение оставшихся тригонометрических функций.

8) Выразите через тригонометрические функции угол α. .

9) Найдите значение выражений:

10) Упростите:

11) Вычислите без помощи таблиц:

12) Найдите , , ; , , , если и .

13) Вычислите

Ответы:

4. a) b) c)

5. a) b) c) d) e) f)1, g) h) i) j) k) 0, l) m)0.5, n)2, o)-2, p)-0.4, q)5;

6. a) , b)1, c)2;

7. , , ;

8. 2;

9. a)0.5, b)0, c)0;

10. a) b) c)

11. a) b)

12.

13. a) b) c) d) .