Тригонометрические выражения.

Тригонометрические функции острого угла можно определить через стороны прямоугольного треугольника. Синусом острого угла α называется отношение катета противолежащего углу α к гипотенузе: . Косинусом острого угла α называется отношение катета прилежащего к углу α к гипотенузе: . Тангенсом острого угла называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету: .

Обобщение тригонометрических функций от острого угла до любого действительного аргумента осуществляется с помощью единичной тригонометрической окружности, которая образуется путем совмещения двух систем координат, а именно, координатной окружности и прямоугольной декартовой системы координат.

Понятие координатной окружности вводится по аналогии с понятием координатной прямой. На окружности ω выбирается точка Р₀, которую берут за начало отсчета, ей ставят в соответствие число 0. По окружности можно передвигаться в двух направлениях, движение против часовой стрелки принимают за положительное, противоположное – за отрицательное. За единичную дугу берут дугу длина которой равна радиусу окружности. Концу Р₁ дуги ставят в соответствие число 1. Говорят, что единичная дуга и центральный угол, опирающийся на эту дугу, равняя одному радиану. Поскольку длина окружности равна 2πr, где r– радиус окружности, то в окружности содержится 2πрадиан. Между градусной и радианной мерой дуг и углов справедливо соотношение πрадиан = 180^о (развернутый угол содержит π радиан и180^о).

Соотношение позволяет переходить от одних единиц измерения к другим. Так, , , , , , (радианты не пишут).

Координатная окружность позволяет каждому действительному числу α поставить в соответствие определенную точку Р_α окружности ω, т.е. отображение Rв ω однозначно. Обратное отображение (из ω и R) является бесконенозначным: каждая точка Р_α наряду с координатой α имеет и координаты α+2π, , т.к. о точки Р_α к той же точке можно перейти делая nполных оборотов в противоположном или отрицательном направлениях по окружности ω.

Единичной тригонометрической окружностью называют координатную окружность единичного радиуса, помещенную в прямоугольную декартовую систему координат XoYтак, что центр окружности совпадает с началом координат, положительное направление оси абсцисс совпадает с лучом ОР₀. Такое совмещение двух системе координат позволяет каждую точку окружности определять по двум координатам (абсцисс и ординат) в системе XoYи по одной координате в координатной окружности. Так, Р₀ (1;0), Р_π/2(0;1), .

Если α – острый угол, т.е. , то Р_α находится в первой четверти и по прямоугольному треугольнику ОР_αА находим cosα = х (абсцисса точки Р_α), а sinα = y(ордината точки Р_α), учитывая, что ОР_α=1. Обобщая это наблюдение на любое , придем к следующим определениям.

Определение.Синусом (косинусом) действительного числа α называется ордината (абсцисса) точки единичной окружности, соответствующая числу α.

Используя определение, можем с помощью тригонометрической окружности находить точно или приближенно синуса и косинуса действительных чисел. Например, , т.к. катет (по известной теореме: «Против угла 30^о лежит катет, равный половине гипотенузы). найдем по теореме Пифагора .

Р₃(х;у), где х≈-1, у≈0, y>0, учитывая, что π≈3,14 и Р_π(-1;0).

Α f(α)
sin α
cos α
tg α

По определению . Для некоторых α значения тригонометрических функций сведены в таблицу. Для других действительных чисел α значения тригонометрических функций находят, учитывая периодичность функции и формулы приведения, учитывая периодичность 2π – наименьший положительный период синуса и косинуса, π – наименьший положительный период тангенса и котангенса, т.е. Формулы приведения можно получить из следующего мнемонического правила:

Знак «+» или «–» определяется по знаку функции fдля . Знаки функции определяются по четвертям.

Например, , т.к. IIчетверти, а , если IIчетверти; , т.к. IIчетверти, а там , т.к. IIIчетверти, а там , т.к. Iили IIчетверти, а там , т.к. IIIчетверти;