Иррациональные выражения.

Если в выражении наряду с рациональными операциями над переменными входят радикалы или степени с дробными показателями, то выражения называют иррациональными. Например, - иррациональные выражения. - рационально выражение, многочлен первой степени и иррациональными коэффициентами.

При нахождении области определения иррационального выражения учитывают ограничения на иррациональные операции, а именно: корни четной степени можно извлекать из неотрицательных чисел, степень с дробным положительным показателем определена лишь для положительных оснований.

Примеры:

1) Найти области определения выражения:

а) б) в) г) .

Решение:

а) . Ответ: .

б) . Ответ: .

в) для любого . Ответ: R.

г) . Ответ: .

2) При каких значения х справедливо равенство:

а) ; б) ; в)

Решение:

а) существует для любых . Арифметическое значение квадратного корня неотрицательно, значит , . Ответ: .

б) для любых . .Ответ: .

в)В области определения выражение принимает неотрицательные значения, Значит ответ: Ø.

Для преобразования иррациональных выражений с переменными используются те же приемы, что и для числовых иррациональных выражений. Своеобразие заключается в учете областей определений, кроме того надо иметь введу, что любое данное положительное число можно представить в виде натуральной степени от радикалов из данного числа. Например, .

Упростить выражения:

1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. ,

9. .

Решение:

1) Область определения выражения равна . Подведя множитель 2 под знак внутреннего радикала, получим . При извлечении корня из корня показатели корней перемножаются, а подкоренное выражение остается без изменений. В результате получим .

2) Область определения выражения есть одноэлементное множество {0}, так как , причем при х=0; при х>0 и при х=0. Корень четной степени существует лишь из неотрицательных подкоренных выражений. При х=0 значение выражения равно 0.

3) Область определения выражения равна , т.к. корень четной степени можно извлекать из неотрицательных чисел. По правилу возведения в степень произведения имеем . По правилу возведения в степень корня имеем . Показатель корня 6 и показатель подкоренного выражения 4 имеют общий делитель 2. .

4) Область определения выражения равна множеству R. Возведем в куб по формуле куба разности

5) для и .

6) при . при . На координатной прямой отметим промежутки законопостоянства выражений и .

Если , то и . Значит, . Если , то Если , то

Ответ: для , для , для .