Рациональные выражения.

К рациональным действия относят сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в целую степень. В рациональные выражения могут входить только рациональные операции. Из рациональных выражений выделяют целые выражения в идее одночленов и многочленов.

Выражение, представляющее собой числовое выражение или произведение чисел, переменных и их натуральных степеней, называется одночленом. Например, - одночлены, а не являются одночленами, т.к. операции деления и сложения над переменными не могут входить в одночлен.

Стандартным видом одночлена называется произведение, составленное из числового множителя (коэффициента) и степеней переменных. Так, - одночлены стандартного вида, одночлен не имеет стандартного вида.

Степенью одночлена называется сумма показателей степеней переменных. Например, одночлен пятой степени, 2х – одночлен первой степени, 3 – одночлен нулевой степени, ведь .

Одночлены, отличающиеся только числовыми коэффициентами (буквенные части одинаковы), называются подобными. Так, 3ху и -5ху – подобные одночлены. Сумму подобных одночленов можно заменить одним одночленом, коэффициент которого равен сумме коэффициентов данных одночленов, а буквенная часть не меняется, такое преобразование называют приведением подобных.

Многочленом называется алгебраическая сумма одночленов. Так, - многочлен. Многочленом стандартного вида называют многочлен, в котором все одночлены стандартного вида и нет подобных. Наивысшая степень одночлена, входящего в многочлен стандартного вида, называется степенью многочлена. Например, многочлен есть многочлен второй степени, т.к. его стандартный вид - многочлен второй степени.

Произведение двух одночленов, произведение числа на одночлен, натуральная степень одночлена задают одночлен. Так,

Сумма, разность, произведение, натуральная степень многочленов преобразуется в многочлен. Сложение и вычитание многочленов сводятся к раскрытию скобок и приведению подобных. Если перед скобками стоит знак «+», то скобки просто опускаются, если же стоит знак «–» то после опускания скобок у каждого слагаемого знак меняется на противоположный. Например,

Чтобы умножить многочлен на одночлен, достаточно каждый член многочлена умножить на одночлен и полученные произведения сложить. Так,

Чтобы умножить многочлен на многочлен надо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго полученные произведения сложить. Например,

.

Преобразование многочлена в произведение двух или нескольких многочленов называется разложением многочлена на множители. Это преобразование производится: 1) вынесением общего множителя за скобки; 2) методом группировки; 3)с помощью формул сокращенного умножения; 4) по известной теореме о разложении многочлена, если известны корни многочлена.

Вынесение общего множителя за скобки выполняется на основе распределительного закона умножения относительно сложения.

Например, . Каждый член многочлена удалось представить в виде произведений, в которых 7у – общий множитель, вынося его за скобки, получим: .

Если первый способ не применим к многочлену, то можно попытаться воспользоваться методом группировки. Для этого надо объединить в группы те члены, которые имеют общие множители, и вынести за скобки обще множители каждой группы. В результате получим новую алгебраическую сумму произведений. Если эти произведения имеют общий множитель, то его выносят за скобки и в результате получают произведение.

Описанные выше прием называют способом группировки.

Пример.

.

В школьной алгебре используется следующие формулы сокращенного умножения:

1. (разность квадратов равна произведению разности и суммы оснований квадратов)

2. (квадрат суммы равен квадрату первого слагаемого плюс удвоенное произведение первого и второго плюс квадрат второго слагаемого).

3. (формула для квадрата разности).

4. (сумма кубов равно произведению суммы оснований кубов на неполный квадрат разности оснований).

5. (разность кубов равна произведению разности оснований на неполный квадрат суммы оснований; если бы перед ху стоял коэффициент 2, то последняя сумма была бы полным квадратом суммы оснований)

6. (формула для куба суммы).

7. (формула для куба разности).

Как и всякое тождество формула сокращенного умножения могут использоваться для тождественных преобразований как справ налево, так и слева направо. Одна из частей каждой формулы сокращенного умножения является многочленом, а другая или произведением или натуральной степенью.

Примеры:

1)

.

В процессе преобразований использован метод группировки и на третьем шаге – формула разности квадратов.

2)

Здесь применена так же формула для разности квадратов.

Четвертый прием разложения многочлена на множители основан на теореме: «Если многочлен имеет нули , то многочлен можно представить в виде произведения .

Например, имеет нулями числа . Значит, .

Если в рациональное выражение входит деление на выражение с переменной или степень переменной с целым отрицательным показателем, то такое выражение называется дробным.

Например, - дробные выражения.

С помощью тождественных преобразований дробное рациональное выражение можно преобразовать в отношение двух многочленов.

Так, .

В последнем равенстве левая и правая части тождественно равны в общей области определения, т.е. х≠0 и у≠0.

Действия с дробными выражениями с переменными подобных действиям с обыкновенными дробями. Роль простых чисел играют многочлены нулевой, первой и второй степени, которые нельзя разложить на многочлены первой степени. Для нахождения наипростейшего общего знаменателя алгебраической суммы дробей раскладывают знаменатели данных дробей на простейшие множители и составляют общий знаменатель как произведение простейших множителей в наивысшей из степеней, в которой они входят хотя, бы в один из знаменателей данных дробей.

Примеры:

1)

.

2)

Разложение многочленов на множители используют и для сокращения дробей. Например, .