Выражение и их тождественные преобразование.

Под переменной в алгебре понимают букву, значения которой принадлежат, если нет особых договоренностей, между R, т.е. произвольное действительное число. Выражения образуются из чисел, переменных и знаков действий. Различают числовые выражения (в них не входят переменные) и выражения с переменными.

Так, (2+3):5 – числовое выражение, а (x+y):5 – выражение с двумя переменными x и y.

Выполняя в числовом выражении операции получают число, которое называют значением числового выражения. Так, 1 – значение выражения (2+3):5.

Упорядоченное множество переменных, входящих в выражение с переменными, назовем списком переменных этого выражения. Если каждую переменную списка заменить на некоторое ее значение, то получим покрытие для выражения, а само выражение с переменными после такой замены превратиться в числовое выражение. Значение этого числового выражения называют значением выражения с переменными на выбранном покрытии. На разных покрытиях выражение может принимать разные значения. Для примера составим таблицу значений выражения (x+y):5 для нескольких покрытий:

Здесь Ч.В. – числовое выражение, З.В. – значение выражения.

Составим таблицу значений выражения для нескольких покрытий:

х
Ч. В.
З.В.

На некоторых покрытиях выражение с переменными может не иметь значения. Так, для выражения нельзя найти значение при , так как делить на нуль нельзя.

Множество покрытий, на которых можно вычислить значение выражения с переменными называется областью определения с переменными, называется областью определения этого выражения. Например, определено для всех действительных чисел, кроме х=3, т.к. 3-х≠0.

определено при условии, что , т.к. извлекать квадратный корень можно только из неотрицательных чисел.

Для нахождения области определения выражения полезно выделить последовательность выполнения действий в выражении и записать на алгебраическом языке ограничения на те из этих действий, которые выполняются не всегда.

Два выражения называются тождественно равными, если на всех покрытиях, принадлежащих общей области определения, соответственные значения этих выражений равны.

Равенство двух тождественно равных выражений называют тождеством. Отношение тождественного равенства рефлексивно, симметрично и транзитивно. На основе этих свойств можно заменять выражения на тождественно равные им, т.е. производить тождественно преобразования.

Например,

1) , 2) - тождества;

- тождественное преобразование первой дроби в выражение 2-а, при котором использованы тождества 1) и 2).

По количеству входящих в выражение переменных выражения подразделяются на выражения с одной переменной и на выражения с большим числом переменных. По виду операций, входящих в выражение, врыжения подразделяются на следующие виды: