Определение операции возведения в степень происходит постепенно для показателей различной природы. Сведем все определения в одну таблицу:
№ п/п
b
a
ab
Через какие операции
a≠0
умножение
a≠0
-n
a≥0
1 и деление
a≥0
извлечение корня n-ой степени
a≥0
1 и 4
a>0
5 и деление
a>0
в школе не рассматривается
предельный переход
Свойства степени:
1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остается прежним: .
2. При делении степеней с одинаковыми показателями степени вычитаются, а основание остается прежним: .
3. При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остается прежним: .
4. Степень произведения равна произведению степеней множителей: .
5. Степень частного равна частному степеней делимого и делителя: .
Свойства радикалов (корней).
Пусть . Тогда в ОДЗ
1. (корень n-й степени из произведения неотрицательных сомножителей равен произведению корней той же степени из сомножителе).
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9. (8 и 9 – правила вынесения множителя из-под знака корня и внесение множителя под знак корня)
10. , если а>0иb>0
11. Если 0<a1<a2, то , и наоборот.
Пусть дан корень n-й степени, а разложение на простые множители подкоренного натурального числа содержит лишь степени с показателями меньшими n. Тогда такой корень называется простейшим. Правила вынесения множителя из под знака корня позволяет любой корень представить в виде рационального числа либо в виде произведения рационального числа на простейший корень. Например, .
Рациональный множитель перед простейшим корнем называют коэффициентом произведения. Два радикала называются подобными, если после преобразования к простейшему виду, могут отличаться лишь коэффициентами.
Так, и подобны, т.к. их простейшие виды и отличаются лишь коэффициентами.
В иррациональных выражениях можно приводить подобные, при этом рациональные слагаемые считаются подобными друг другу.
Например, .
Два рациональных числа называются сопряженными друг другу, если их произведение является рациональным числом. Так, и - сопряженные, т.к. .
Примеры сопряженных выражений для :
1. и (1<k<n);
2. и
3. и .
Чтобы освободиться, от иррациональности в знаменателе дроби, умножают числитель и знаменатель дроби на сопряженное знаменателя.
Например, ;
;
Для сравнения иррациональностей можно использовать одиннадцатое свойство. Для этого можно, используя свойства 8 и 9, все сравнимые иррациональности представить в виде радикалов одной и той же степени. Например, 1) что бы сравнить и , представим их в виде корней одной и той же степени и . 8<9. Значит < . 2) и , , , 225<250 значит .
Чтобы воспользоваться свойством 6, нужно подкоренные выражения преобразовать в квадрат. При этом используются тождества: и метод неопределенных коэффициентов.
Пример. Чтобы упростить , представим в виде квадрата выражения . . Будем искать целые aи b, удовлетворяющие системе: (5;1) – решение системы. Значит, .
.
Свойство 7 так позволяет упрощать выражения, содержащие иррациональности, только подкоренные выражения надо представить в виде (2k+1)-й степени.
Например, что бы упростить представим однокоренные выражения в кубы. Воспользуемся формулами для кубов суммы и разности и методом неопределенных коэффициентов.
Приравняв рациональные части и коэффициенты рациональных частей, получим систему уравнений, которую решим в целых числах: ; . .
(2,1) – целочисленное решение системы. Итак, .
Аналогично, . .
Ответ: 4.
Приведем еще примеры преобразования выражений с использованием свойств степеней и радикалов:
1) ;
2) ;
3) ;
4)
;
5) ;
6)
;
7)
;
8) .
Контрольные вопросы к главе 1.
1. Какие операции всегда выполнимы на любом множестве N.
2. Сформулируйте законы сложения.
3. Что значит из числа nвычесть число m?
4. Когда выполнимо вычитание на N?
5. Сформулируйте законы умножения.
6. Что значит разделить число nна число m?
7. Что значит разделить число nна число mс остатком?
12. Дайте определение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного нескольких чисел.
13. Найдите НОД(54922, 2552) и НОК(54900, 2552).
14. Дайте определение обыкновенной дроби.
15. Сформулируйте основные свойства дроби.
16. Сократите дробь .
17. Сформулируйте правила сложения, умножения, вычитания и деления обыкновенных дробей.
18. Какая дробь называется десятичной?
19. Обратите десятичные дроби в обыкновенные дроби и смешанные числа: 0,03; 25,04; 3,08.
20. Обратите обыкновенные дроби в десятичные:
21. Сформулируйте основное свойство пропорции.
22. Является ли верной пропорция
23. Как можно сравнить обыкновенные дроби?
24. Как сравниваются десятичные дроби?
25. Что называется процентом? Сформулируйте три основные задачи на проценты и три основные задачи на дроби.
26. Запишите правила знаков.
27. Дайте определение модуля (собственной величины числа) и его геометрическое истолкование.
28. Дайте определение координатной прямой.
29. Какие числа составляют множество Z?
30. Дайте определение противоположных чисел. Как противоположные числа расположены на координатной прямой?
31. Какие числа составляют множество Q?
32. Всегда ли выполнимо деление на множестве Q?
33. Дайте определение степени с натуральным показателем; с целым показателем; с дробным показателем.
34. Чему равно значение: 1) 020; 2)130; 3)(-1)3; 4)(-1)75; 5)23 ?
35. Сформулируйте свойства степени.
36. Сформулируйте свойства радикалов.
37. Дайте определение подобных иррациональных чисел. Приведите примеры.
38. Дайте определение сопряженных иррациональных чисел. Приведите примеры.
39. Как освобождаются от иррациональности в знаменателе дроби?
Упражнение к главе 1.
1. Определите последовательность выполнения действия указав их номер сверху выражения над соответствующей операцией и вычислите значение числового выражения: .
2. Замените знак деление « :» чертой, сократите полученные дроби, вычислите значение выражения .
3. Найдите НОД и НОК чисел 1050, 126, 630.
4. Сравните дроби:
a. ;
b. ;
c. .
5. Вычислите:
a. ;
b. ;
c. ;
d. ;
e. ;
f. ;
g.
h.
i.
j.
k.
l.
m. .
6. В сосуде находится 10%-ый раствор спирта. Из сосуда отлили содержимого, а оставшуюся часть долили водой так, что сосуд оказался заполненным на первоначального объема. Какое процентное содержание спирта оказалось в сосуде окончательно?
7. Человек взял 50 000р., под 20% на 5 лет. Сколько всего он должен выплатить
a. Если будет ежегодно выплачивать проценты?
b. Если всю сумму выплатит через 5 лет?
8. В слитке массой 20 г., золото и серебро находятся в отношении 3:2 Каковы массы золота и серебра в слитке?
9. Освободитесь от иррациональности в знаменателе:
a.
b.
c.
10. Упростите:
a.
b.
c.
d.
Ответы: 1) 4; 2) 60; 3)42, 3150; 5) a. ; b. c. ; d. 16.2; e. -147.6; f. 32; g. 48; h. ; i. 2; j. ; k. 3; l. ; m. 14; 6)8%; 7) a. 100 00p; b. 20736p; 8) 12г и 8г; 9) a. ; b. ; c. ; 10) a. ; b. ; c. ; d. 5.
.
.
.
.
.
. Тогда в ОДЗ
(корень n-й степени из произведения неотрицательных сомножителей равен произведению корней той же степени из сомножителе).
, если а>0иb>0
, и наоборот.
.
и 
подобны, т.к. их простейшие виды 
и 
отличаются лишь коэффициентами.
.
и 
- сопряженные, т.к. 
.
:
и 
(1<k<n);
и 
и 
.
;
;
и 
, представим их в виде корней одной и той же степени 
и 
. 8<9. Значит 
. 2) 
и 
, 
, 
, 225<250 значит 
.
и метод неопределенных коэффициентов.
, представим 
в виде квадрата выражения 
. 
. Будем искать целые aи b, удовлетворяющие системе: 
(5;1) – решение системы. Значит, 
.
.
представим однокоренные выражения в кубы. Воспользуемся формулами для кубов суммы и разности и методом неопределенных коэффициентов.
Приравняв рациональные части и коэффициенты рациональных частей, получим систему уравнений, которую решим в целых числах: 
; 
. 
.
.
. 
.
;
;
;
;
;
;
;
.
.
.
.
;
;
.
;
;
;
;
;
;
.
содержимого, а оставшуюся часть долили водой так, что сосуд оказался заполненным на 
первоначального объема. Какое процентное содержание спирта оказалось в сосуде окончательно?
; b. 
c. 
; d. 16.2; e. -147.6; f. 32; g. 48; h. 
; i. 2; j. 
; k. 3; l. 
; m. 14; 6)8%; 7) a. 100 00p; b. 20736p; 8) 12г и 8г; 9) a. 
; b. 
; c. 
; 10) a. 
; b. 
; c. 
; d. 5.