Рациональные и иррациональные числа.

Рациональным называется число, которое можно представить в виде дроби , где . Q– множество всех рациональных чисел.

Рациональные числа подразделяются на: положительные, отрицательные и нуль.

Каждому рациональному числу можно поставить в соответствие единственную точку координатной прямой. Отношению «левее» для точек соответствует отношение «меньше» для координат этих точек. Можно заметить, что всяко отрицательное число меньше нуля и всякого положительного числа; из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше. Так, -5.3<-4.1, т.к. |5.3|>|4.1|.

Всякое рационально число можно представить десятичной периодической дробью. Например, .

Алгоритмы действий над рациональными числами вытекают из правил знаков соответствующих действий над нулем и положительными дробями. В Qвыполняется деление, кроме деления на нуль.

Любое линейное уравнение, т.е. уравнение вида ax+b=0, где , разрешимо на множестве Q, но не любое квадратное уравнение вида , разрешимо в рациональных числах. Не каждая точка координатной прямой имеет рациональную точку. Еще в конце VIв до. н. э в школе Пифагора было доказано, что диагональ квадрата не соизмерима с его высотой, что равносильно утверждению: «Уравнение не имеет рациональных корней». Всё перечисленное привело к необходимости расширения множества Q, было введено понятие иррационального числа. Обозначим множество иррациональных чисел буквой J.

На координатной прямой иррациональные координаты имею все точки, которые не имеют рациональных координат. , где r– множеств действительных чисел. Универсальным способом задания действительных чисел являются десятичные дроби. Периодические десятичные дроби задают рациональные числа, а непериодические – иррациональные числа. Так, 2,03(52) – рациональное число, 2,03003000300003… (период каждой следующие цифрой «3» записывается на один нуль больше) – иррациональное число.

Множества Qи Rобладают свойствами положительности: между любыми двумя рациональными числами существует рациональное число, например, есои a<b, то a<(a+b):2<b(другими словами: среднее арифметическое двух различных чисел расположено между этими числами).

Для всякого иррационального числа α можно указать рациональное приближение как с недостатком так и с избытком с любой точностью: a< α <b. Так , 3,14 и 3,15 – приближенные значения π с недостатком и с избытком с точностью до сотых.

Операция извлечения корня из некоторых рациональных чисел приводит к иррациональным числам. Извлечение корня натуральной степени – алгебраическая операция, т.е. ее введение связано с решение алгебраического уравнения вида . Если nнечетное, т.е. n=2k+1, где , то уравнение имеет единственный корень. Если nчетное, n=2k, где , то при a=0 уравнение имеет единственный корень х=0, при a<0 корней нет, при a>0 имеет два корня, которые противоположны друг другу. Извлечение корня – операция обратная операции возведение в натуральную степень.

Арифметическим корнем (для краткости корнем) n-й степени из неотрицательного числа а называется неотрицательное число bкоторое является корнем уравнения . Корень n-ой степени из числа а обозначается символом . При n=2 степень корня 2 не указывается: .

Например, , т.к. 2²=4 и 2>0; , т.к. 3³=27 и 3>0; не существует т.к. -4<0.

При n=2kи a>0 корни уравнении (1) записываются так и . Например, корни уравнения х²=4 равны 2 и -2.

При nнечетном уравнение (1) имеет единственный корень для любого . Если a≥0, то - корень этого уравнения. Если a<0, то –а>0 и - корень уравнения. Так, уравнение х³=27 имеет корень .

Извлечение корня – операция обратная операции возведения в натуральную степень.

Если и , то для любого .

Из определений взаимно обратных операций следует, что и , если a≥0. Значит, если , то и .

Если же подкоренное выражение корня n-й степени нельзя представить в виде n-й степени рационального числа, то корень задает иррациональное число.

Так, , т.к. 8=2³.

Общие алгоритмы действий над иррациональными числами школьники не изучают. Преобразования иррациональных выражений производят на основе свойств операций. Остановимся особо на операциях возведения в степень и извлечения корня.