Целые числа.

Натуральные числа обеспечивают потребности счета, обыкновенные дроби – потребности измерений, положительные и отрицательные числа позволяют различать противоположно направленные величины, например, высота горы под уровнем моря и глубина моря. В математике для наглядного представления чисел используют координатную прямую.

Координатной прямой называют прямую с выбранными на ней начало отсчета (точка 0), единичным отрезком (0Е) и направлением (стрелка показывает положительное направление, противоположное – отрицательное).

Точке О присваивают координату 0 (число нуль), конце единичного отрезка Е – число 1.Каждому натуральному числу nсоответствует вполне определенная точка координатной прямой, для этого в положительном направлении от точки О откладывают nединичных отрезков. Если такое же число единичных отрезков отложить в отрицательном направлении, то получим точку, координату которой обозначают –nи называют числом, противоположным натуральному числу n. –n– отрицательное число. nи –n– координаты точек, симметричных относительно точки О.

Числа натуральные, или противоположные, а так же число нуль составляют множество Zцелых чисел. - где - множество чисел, противоположных натуральным.

Пусть

- множество неотрицательных целых чисел.

- множество неположительных целых чисел.

Каждому целому числу можно поставить в соответствие единственную точку координатной прямой.

Для записи отрицательных чисел используются 10 цифр и знак «–» (минус). Например, -375.

Абсолютной величиной (модулем) натурального числа nявляется само число n, для отрицательного числа –n, число n; для нуля – нуль. Модуль числа xобозначают |x|.

Геометрически |x|есть расстояние на координатной прямой от точки с координатой xдо начала отсчета. . |0|=0, |5|=5, |-5|=5.

Отношению «левее» для точек на координатной прямой соответствует отношение меньше (<) для координат точек. Так, -5<-3, -5<3.

Операции над целыми числами выполняются с учетом следующего:

1. х+0=х; 2. х*0=0; 3. х*1=х; 4. Если , то операции производятся по обычным для натуральных чисел правилам; 5. Если , то , . 6. Вычитание целых чисел можно заменить на сожжение x-y=x+(-y). 7. Если , то сначала определяется знак суммы, сравнивая модули чисел. Если n>m, то сумма отрицательна, если n<m, то сумма положительна, если n=m, то сумма равна нулю. 8. (-n)*m=-nm.

Например. 5*2=10, -5+2=-(5-2)=-3, -5+(-2)=-7, (-5)*2=-10, (-5)*(-2)=10.

Особо выделим правила знаков:

· (+)+(+)=(+);

· (–)+(–)=(–);

· (+)*(+)=(+);

· (–)*(–)=(+);

· (–)*(+)=(+);

· (+):(+)=(+);

· (–):(–)=(+);

· (–):(+)=(–);

· (–)+(+)=(±) (определяется сравнением моделей.

На множества целых чисел сложение, умножение, возведение в натуральную степень, вычитание выполняется всегда, операция деления выполняется с теми же ограничениями, что и для натуральных чисел; рассматривается и деление с остатком. Например, -50=(-7)*8+6=-7*7-1. В первом случае при делении -50 на -7 8 – неполное частное, 6 – остаток. Во втором случае 7 – неполное частное, -1 – остаток.

Если потребовать, что бы остаток rудовлетворял условию 0≤|r|<b, где b– делитель, то деление с остатком производится не однозначно. Если потребовать кроме того, чтобы остаток был положительным либо неположительным, то деление с остатком выполняется однозначно.