Обыкновенные дроби.

Одна или несколько частей единицы называется обыкновенной дробью. Обыкновенная дробь записывается с помощью черты и двух натуральных чисел. Число стоящее под чертой, называется знаменателем дроби и показывает, на сколько равных частей разделена единица. Число, стоящее над чертой, называется числителем дроби и показывает сколько таких равных частей взято. Так, дробь показывает, что единица разделена на 5 равных частей и таких частей взято 3.

Любое натуральное число можно представить в виде обыкновенной дроби: .

Если m<n, то дробь называется правильной; если , то – неправильной. Дробь .

Например, - правильная дробь, , - неправильные дроби.

Из любой неправильной дроби можно выделить целую часть. Для этого нужно разделить с остатком числитель на знаменатель. Неполное частное будет целой частью, остаток – числителем, а делитель – знаменателем. Например, , значит . От смешанной записи числа в виде целой и дробной части можно перейти к неправильной дроби. Для этого нужно умножить его целую часть на знаменатель дробной части и к произведению прибавить числитель дробной части. Полученная сумма будет числителем дроби, а знаменателем будет знаменатель дробной части. Так .

Две дроби и равны, если .

Составное свойство дроби:

.

Переход от левой части этого равенства к правой сводится к умножению числителя и знаменателя на одно и то же число, а переход от правой части к левой называют сокращением дроби на общий делитель числителя и знаменателя.

Из бесконечного множества равных дробей выделяется одна, у которой числитель и знаменатель взаимно простые. Так, среди дробей, входящих в цепочку равенств , дробь - одна несократимая.

, откуда следует: , .

Так, , , .

Для любых двух дробей верно одно и только одно из отношений: 1) дроби равны; 2) первая дробь меньше второй; 3) вторя дробь меньше первой.

Чтобы из сократимой дроби получить несократимую, находят НОД(m;n).

Например. - сократимая дробь, т.к. и числитель и знаменатель делятся на 5.

НОД(5355,7455)=3*5*7=105, 5355=105*51, 7455=105*71.

Сократив данную дробь на 150, получим несократимую дробь .

Дробь можно рассматривать, как частное m: nчисел mи n, которое по-другому называется отношение числа mк числу nи показывает, во сколько раз число mбольше числа nили какую часть числа nсоставляет число m. Равенство m₁: n₁ = m₂: n₂двух отношений называется пропорцией, m₁ и n₂– крайними, n₁ и m₂– средним членами пропорции.

Произведение крайних равно произведению средних членов пропорции, т.е. m₁*n₂=n₁*m₂(основное свойство пропорции) и наоборот .

В пропорции можно менять местами крайние и средние члены или те и другие одновременно, т.е. из позиции m₁: n₁ = m₂: n₂вытекают следующие пропорции m₁: n₂ = n₁: m₂, n₂: n₁= m₂: m₁, n₁: m₁= n₂ : m₂.

Что бы разделить некоторое число а в данном отношении m: n, нужно разделить это число на сумму данных чисел и результат умножить на каждое из них.

Например. Сплав массой 50 г. содержит серебро и золото в отношении 3:2. Каковы массы серебра и золота в сплаве?

- масса золота, - масса серебра.

Алгоритмы сложения и вычитания дробей можно получить из равенства:

.

1) Находят наименьший общий знаменатель дробей как НОК знаменателей данных дробей.

2) Находят дополнительные множители d1 и d2 соответственно к первой и второй дробям, как частные от деления общего знаменателя на знаменатели первой и второй дроби соответственно: d1=НОК(n₁,n₂):n₁, d2=НОК(n₁,n₂):n₂.

3) Находят числитель результирующей дроби как значение выражения .

4) В знаменатель записывают НОК(n₁,n₂).

5) Если можно, то дробь сокращают.

6) Если дробь неправильная, то ее записывают в смешанном виде, т.е. выделяют целую часть.

Если n₁=n₂=n, то действуют по формуле .

При вычитании чисел, записанных в смешанном виде сначала сравнивают дробные части. Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого нужно присоединить к дробной части и преобразовать полученное смешанное число в неправильную дробь, при этом целая часть уменьшится на 1, а дробная часть увеличится на 1 и будет больше дробной части вычитаемого. Если дробная часть уменьшаемого не меньше дробной части вычитаемо то из целой части уменьшаемого вычитают целую часть вычитаемого, а из дробной части уменьшаемого вычитают дробную часть вычитаемого.

Например. ;

.

При сложении смешанных чисел складывают целую часть с целой и дробную с дробной. Например. .

Произведение двух дробей и равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей, т.е. .

При умножении чисел, хотя бы одно из которых записано в смешанном виде, их преобразуют в неправильные дроби и затем применяют рассмотренное выше правило. Пример, .

Два числа xи yназывают взаимно обратными, если их произведение равно единице, т.е. x*y=1. Так, xи , и , 5 и - пары взаимно обратных чисел.

Деление числа на дробь можно заменить умножением числа на дробь, обратную делителю. Например: .

Из этого правила деления следует правило, основанное на равенстве: , т.е. при делении дроби на дробь получается дробь, в числителе которой стоит произведение числителя первой дроби и знаменателя второй, а в знаменателе – произведение знаменателя первой дроби и числителя второй дроби.

Деление чисел смешанного вида или на натуральное число сводят к делению дробей. Например, , .