Натуральные числа и действия над ними

1) Определяем частоту переменного тока для частоты вращения ротора генератора при которой рассчитывается характеристика холостого хода. Обычно принимают =1000 :

.

2) Рассчитываем электродвижущую силу фазы обмотки статора для нескольких значений . Получаем зависимость . Формулы для расчёта получаем из объединения уравнений (11.5), (11.7), (11.8):

-для соединения обмотки статора в звезду:

,

- для соединения в треугольник выпадают из формулы гармоники кратные трем:

.

3) Определяем точки характеристики холостого хода, используя зависимость , рассчитанную в разделе 10.9 и зависимость , полученную в предыдущем пункте.

4) Токоскоростная характеристика рассчитывается по методу, изложенному в разделе 10.3.2. Он основан на допущении, что синхронное индуктивное сопротивление по продольной оси не равно синхронному индуктивному сопротивлению по поперечной оси .

Натуральные числа и действия над ними

Можно рассматривать порядковые (для счета предметов, как последовательность 1, 2, 3, …) и количественные (мощности конечных множеств) натуральные числа. Ни тем, ни другим в школе не даются определения. Число нуль 0 в школе не принято относить к множеству N.

На множествен N определены следующие действия: сложение (+), вычитание(-), умножение (*), деление (:), возведение в степень и извлечение корны. Прямые действия (сложение, умножение, возведение в натуральную степень) выполняются всегда, обратные действия (вычитание, деление и извлечение корня) – с ограничениями.

Для записи натуральных чисел используются десятичная позиционная система счисления: используются 10 цифр (0,1,2,…,9), а значение знака зависит от позиции цифры. Так в числе 121 первая цифра «1» означает одну сотню, а вторая – одну единицу.

1, 10, 100, …, 10ⁿ, … - разрядные единицы. Всякое натуральное число можно записать поразрядно:

,

где соответственно число единиц, число десятков, число сотен и т.д. Черта сверху означает, что над ней записано не произведение, а последовательность цифр числа. Так Позиционная система счисления имеет простые и хорошо знакомые выпускникам средних учебных заведений алгоритмы: поразрядного сложения, вычитания, умножения и деления многозначных чисел. n-ая степень числа а определяется через операцию умножения: . Приведем лишь примеры действий:

Напомним названия компонент действий:

Действие	Символически	a	b	c
Сложение	a + b=c	Первое слагаемое	Второе слагаемое	Сумма
Умножение	a * b=c	Первый множитель	Второй множитель	Произведение
Вычитание	a – b=c	Уменьшаемое	Вычитаемое	Разность
Деление	a : b=c	Делимое	Делитель	Частное
Возведение в степень	ab = c	Основание степени	Показатель степени	Степень
Извлечение корня		Подкоренное число	Степень корня	Корень b-той степени из числа а

Алгоритмы извлечения корней в современной школе не изучаются. Для этого используется таблицы прямых действий или калькуляторы. В простых действиях удается извлечь корень по определению операции или с помощью ее свойств.

Сложение и умножение обладают свойствами коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности (умножения относительно сложения). 1 – нейтральный элемент умножения, т.е. .

Вычесть из числа aчисло b– значит найти такое число x, которое в сумме с числом bдает число а, .т.е., b+x=a. лишь в случае, если a>b.

Справедлив распределительный закон умножения относительно вычитания, т.е.

Разделить число а на число b– значит найти число х, при умножении которого на число bполучаете число а, т.е. , если .

не всегда является натуральным числом.

Если , то говорят, что а делится на b, или aкратно b, или b– делитель а, и пишут или . Итак, , если существует натуральное число kтакое, что .

Признаки делимости чисел:

1) На 2 делятся числа, оканчивающиеся четной цифрой, т.е. оканчивающиеся на 0;2;4;6;8.

2) На 5 делятся числа, оканчивающиеся нулем или цифрой 5.

3) На 4 (на 25) делятся числа, у которых две последние цифры выражают число, делящееся на 4 (или на 25).

4) На 3 (на 9) делятся числа, сумма цифр которых делится на 3 (на 9).

5) На 10 делятся числа, оканчивающиеся нулем.

Свойства делимости:

· Если и , то .

· Если и и , то .

· Если и и ,то .

Пусть a>b. Тогда а можно однозначно представить в виде , где , m– неполное частное, а r– остаток от деления а на b.

Упражнение.Доказать, что всякое трехзначное число, записанное одинаковыми цифрами делится на 37.

Доказательство. , где Значит, .

Доказательство признаков основано на поразрядном предствалении натуральных чисел и свойствах делимости.

Докажем признак делимости на 3.

Пусть …, Значит, . Второе слагаемое последней суммы делится на 3. Если первое слагаемое делится на 3, то и сумма а делится на 3. Если первое слагаемое не делится на 3, то и сумма а не делится на 3.

Определение.Число а, отличное от 1, называется простым, если имеет только два делителя 1 и само себя. Например числа 2, 3, 5, 7, 11, 13 – простые.

Определение.Число а, имеющее более двух делителей, называются составными. Например 125 – составное число, множество его делителей {1, 5, 25, 125}.

Итак натуральные числа могут быть простыми, составными или 1.

Основная теорема арифметики.Любое составное число может быть представленно в виде произведения степеней простых чисел, т.е. виде , где p₁, p₂, …, p_k– простые числа, а n₁, n₂, …, n_k

называют каноническим представлением (разложением) числа а.

Например: , .

Зная каноническое разложение числа, легко представить все его делители. Так, множество делителей числа 600 есть А={q1;2;2²;2³;3;2*3;2²*3;2³*3;5;5²;2*5;2²*5;2³*5;3*5;2*3*5;2²*3*5;2³*3*5; 2*5²*2²*5²;2³*5²;3*5²;2*3*5²;2²*3*5²;2³*3*5²}, множество делителей числа 540 есть В={1;2;2²;3;3²;3³;2*3;2*3²; 2*3³;2²*3;2²*3²;2²*3³;5;2*5;2²*5;3*5;3²*5;3³*5; 2*3*5;2*3²*5;2*3³*5;2²*3*5;2²*3²*5;2³*3^3*5}. ={1;2;2²; 3;2*3;2²*3; 5;2*5; 2²*5; 3*5;2*3*5;2²*3*5} - множество общих делителей чисел 600 и 540. Среди них 2²*3*5 – наибольший (НОД). Что бы найти НОД (a,b), выделяются в канонических разложениях чисел aи bстепени общих простых делителей с наименьшими показателями и записывают их произведение. Если НОД (a,b) = 1, то числа aи bназывают взаимно простыми. Так НОД (32;81)= 1 и, значит, 32 и 81 – взаимно простые числа.

Пусть a=9, b=15. Тогда Х={9;18;27;36;45;…} – множество чисел кратных числу 9, а Y={15;30;45;60;…} – множество чисел кратных 15. ={45;90;270…} – множество общих кратных чисел 9 и 15. 45 – наименьший среди них, записывают: 45 = НОК(9;15).

По каноническим разложениям чисел aи bсоставляют произведения степеней каждого простого числа, входящего хотя бы в одно разложение, с наибольшими показателями.

Например, НОК(3*5²*7³;2³*7*13²) = 2³*3*5²*7³*13²).

При разложении на простые множители используют признаки делимости.

2372=2⁴*3*7²

2700=2²*5²*3³

НОД(2372;2700)=2²*3=12

НОК(2372;2700)=2⁴*3³*5²*7²=5292.