Уравнение неразрывности для сжимаемого газа.

Предварительные понятия газовой динамики.

Совместное применение нескольких фундаментальных законов

Лекция №7.

Законы сохранения массы, импульса, энергии используем для построения математической модели, описывающей течение сжимаемого газа. Обсудим отличия полученной модели от моделей, полученных ранее, а также некоторые следующие из нее свойства газодинамических движений.

Заметное изменение плотностей жидкостей и твердых тел может достигаться лишь при огромных давлениях в десятки и сотни тысяч атмосфер и выше. Газообразные среды гораздо легче подвергаются сжатию: при перепаде давления в одну атмосферу плотность газа, первоначально находившегося при атмосферном давлении, уменьшается или увеличивается на величину, сопоставимую с начальной его плотностью. В газовой динамике, изучающей движение сжимаемых сред под действием каких-либо внешних сил или сил давления самого вещества, считается выполненным неравенство , где - длина свободного пробега, - характерные размеры области рассматриваемого течения (сплошная среда). Считается также выполненной гипотеза о ЛТР. В условиях ЛТР сжимаемую среду можно рассматривать как совокупность большого числа жидких частиц, с размерами, много большими , но много меньшими, чем . Для каждой такой частицы, связанной с небольшой фиксированной массой среды, вводятся характеризующие ее средние величины – плотность , давление , температура , внутренняя энергия и т.д., а также скорость ее макроскопического движения как единого целого. Все эти величины в общем случае зависят от трех пространственных переменных и времени . В дальнейшем будем также предполагать отсутствие в среде процессов теплопередачи, вязкого трения, источников и стоков энергии, например, излучения, и, кроме того, отсутствие внешних объемных сил и источников (стоков) массы в веществе.

Применим рассуждения, аналогичные тем, которые использовались для вывода уравнений неразрывности для течения грунтовых вод и процесса теплопередачи. Рассмотрим в некоторой области пространства, занятой движущимся газом, элементарным кубом со сторонами и подсчитаем в нем баланс массы за время (рис. 2.1).

Рис. 2.1

Здесь – компоненты скорости по соответствующим осям. По оси через грань с координатой в кубик за время поступает масса газа, равная

,

поскольку величина ничто иное, как поток массы по направлению оси . За то же самое время из грани с координатой вытекает масса

,

где через обозначено приращение потока массы при переходе от координаты к координате . Суммируя оба последних выражения и учитывая, что

,

получаем величину изменения массы в кубе за время благодаря движению газа вдоль оси :

. (1)

Таким же образом находим изменения массы за счет движения по осям :

,

. (2)

В фиксированном объеме куба изменение находящейся в нем массы газа выражается также через изменение его плотности со временем:

. (3)

Суммируя и приравнивая результат к , получаем из (1) – (3) искомое уравнение неразрывности

, (4)

выражающее закон сохранения массы вещества применительно к движению сжимающегося газа. По своей форме и смыслу (скорость изменения величины определяется дивергенцией потока этой величины) оно вполне аналогично уравнению неразрывностью. Однако аналогия с течением грунтовых вод на этом заканчивается. При свободном движении газа его динамика определяется лишь силами давления самого газа, в отличие от движения жидкости, испытывающей сопротивление сил грунта.