Уравнение энергии.

Уравнения движения газа.

Для их получения применим второй закон Ньютона к элементарной жидкой частице, имеющей в некоторый момент форму куба с гранями (рис. 3.1).

Рис. 3.1

Жидкая частица – это перемещающаяся в пространстве и меняющий свою форму объем, содержащий в разные моменты времени одни и те же атомы и молекулы газа. Тем самым его масса постоянная. Для простоты вывода будем считать, что за короткое время куб не меняет своей формы и смещается по всем направлениям на расстояние, много меньшее его размеров.

Определим сначала силу, действующую на куб, например в направлении оси . Она, очевидно, равна разности давлений на левой и правой границах, умноженной на их площади (иных сил по предположению нет):

.

Сила равна ускорению жидкой частицы в направлении . Умноженному на его массу :

. (5)

Заменяя в правом выражении для разность давлений через производную от давления по и приравнивая его к (5), приходим к уравнению, описывающему движение газа вдоль оси :

. (6)

Точно также получаем уравнения движения по направлениям :

, (7)

, (8)

имеющие как и в (6), очевидный физический смысл. В векторной форме уравнения (6) – (8) имеют вид

. (9)

Поясним, что (6) – (9) через обозначена полная (субстанциональная, т.е связанная частицами газа) производная по времени какой-либо величины, характеризующей данную неизменную массу газа.

Раскрыв через частные производные по и в соответствии с правилом , придем к уравнениям движения Эйлера

. (10)

Будучи записаны покоординатно, они принимают вид

, (11)

, (12)

. (13)

В отличие от течения грунтовых вод, градиенты давления в уравнениях газа (6) – (13) определяют компоненты ускорения вещества, а не компоненты его скорости (сравнение с законом Дарси). Уравнения (4), (11) – (13) содержат пять неизвестных величин - . Для их замыкания естественно использовать закон сохранения энергии.

Для его получения используем ту же упрощенную схему, что и для уравнений движения газа: будем рассматривать изменение внутренней энергии фиксированной массы газа за короткий промежуток времени . Так как по сделанным допущениям в веществе отсутствует теплопроводность, вязкость и источники (стоки) энергии, то это изменение вызывается лишь работой сил давления на гранях куба при его сжатии или расширении. Работа давления, связанная с движением граней объема вдоль оси , очевидно, равна

,

где слагаемые в скобках можно, отбрасывая члены второго порядка малости, переписать через производную и получить

.

Здесь – среднее давление в элементарном объеме. Аналогично

,

.

Полная работа, совершенная над газом за время , есть

.

Она равна изменению внутренней энергии объема, т.е.

,

- удельная внутренняя энергия. Приравняв оба выражения для и устремив к нулю , окончательно получим

, (14)

где - полная (субстанциональная) производная внутренней энергии по времени. Заметим, что с помощью новых уравнений (14) приводится, подобно (4), к дивергентному виду

. (15)

Слева в (15) стоит производная от полной (внутренней и кинетической) энергии газа в данной точке пространства. Так как термодинамические свойства вещества предполагаются известными, то - известная функция уже введенных величин и , и уравнение (14) либо (15) дает недостающую связь для определения искомых газодинамических величин.