Об особенностях моделей теплопередачи.

Наиболее простая из всех обсуждаемых выше задач теплопроводности – задача о стационарном процессе для уравнения (11) на отрезке :

, , .

Ее решение – линейная функция координаты :

, . (19)

Решение (19) имеет вполне очевидный физический смысл. Действительно, при стационарном процессе потоки тепла, входящие в любое поперечное сечение стержня и выходящие из него, равны (иначе температура в сечении менялась бы). Поэтому поток должен быть постоянен в любой точке , что по закону Фурье (3) при возможно лишь при линейном «профиле» температуры. Вместе с тем, применение закона Фурье приводит к появлению одного не имеющегося физического смысла эффекта, характерного для уравнений параболического типа. Поясним его, рассмотрев для уравнения (11), решаемого во всем пространстве , задачу о так называемом мгновенном точечном источнике тепла. Требуется найти распределение температуры при всех , , вызванное выделение в момент в плоскости некоторого количества тепла . Начальная температуры считается равной нулю: , . Такая постановка – идеализация реального процесса, справедливая при выполнении соответствующих условий (например, по центру холодного стержня пропускается мощный поперечный импульс электрического тока, действующего очень короткое время и затрагивающего малый участок металла). Решение поставленной таким образом задачи дается формулой:

, , , (20)

что проверяется непосредственной подстановкой в уравнение (11).

Симметричная функция (20) в силу известного равенства

,

обладает свойством

. ,

так что закон сохранения энергии выполняется. В то же время, согласно (20) температура в любом точке пространства в любой момент отлична от нуля. Тем самым, модель (11) и многие другие модели теплопередачи описывают процессы с бесконечной скоростью распространения возмущений (температура при была нулевой для ). Этого недостатка лишены (но лишь при определенных условиях) уравнения типа нелинейной теплопроводности (10) (в частности уравнение (13)). Для модели (10) с , рассмотрим процесс распространения тепла в полупространстве при заданной на границе температуре: . Начальная температура среды считается ненулевой: , .

Частное решение этой задачи, отвечающее граничному закону

, ,

Имеет вид бегущей волны, распространяющейся от границы вглубь вещества не с бесконечной, а с конечной скоростью (рис. 5.1):

Рис. 5.1

, . (21)

Однако это свойство реализуется лишь при распространении тепла в холодную среду и теряется в случае отличной от нуля начальной температуры вещества. Описанный дефект, связанной с неприменимостью закона Фурье (и закона Дарси в случае уравнения Буссинеска) в окрестности фронта распространения тепловой энергии, не препятствует широкому применению параболических уравнений (из (20) видно, что доля энергии, содержащейся в веществе при достаточно больших значениях , ничтожна мала в сравнении с полной энергией ). Они служат хорошим примером универсальности математических моделей, описывая большое количество разнообразных процессов.