Уравнение Шредингера для твердого тела

Твердым телом называется совокупность ядер и электронов.

Стандатное состояние частиц в твердом теле описывается уравнением Шредингера

,

где - гамильтониан всей совокупности частиц или гамильтониан твердого тела, - собственная волновая функция твердого тела, E – энергия твердого тела. Если ₁, ₂ – радиус- векторы электронов ₁, ₂ – радиус-векторы ядер, M_k –масса ядра типа к, m – масса электрона, то гамильтониан системы частиц имеет вид

,

где - оператор кинетической энергии системы, U –потенциальная энергия

- оператор Лапласа для i -й частицы

- оператор кинетической энергии электронов

- оператор кинетической энергии ядер

Потенциальная энергия совокупности частиц, составляющих твердое тело, складывается из энергий попарного взаимодействия электронов с электронами, ядер с ядрами и электронов с ядрами.

энергия кулоновского отталкивания электронов и ядер

- энергия притяжения электронов к ядрам

Уравнение Шредингера имеет вид

Волновая функция зависит от координат всех частиц

(r₁, r₂, r₃…r_n, R₁, R₂, R_3,….R_n )

Если на волновую функцию наложить ограничения (конечность, однозначность, непрерывность), то уравнение Шредингера будет иметь решение не при всех значениях E,решения Eопределяет уровни энергии (энергетический спектр) твердого тела.

Однако, в общем виде это уравнение решения не имеет. Для отыскания приближенного решения прибегают к ряду упрощающих предположений.

Приближение, учитывающее различный характер движения ядер и электронов – адиабатическое приближение или приближение Борна – Оппенгеймера.

Самое грубое допущение – ядра покоятся, в этом случае радиус-векторы ₁, ₂ уже не являются переменными, а представляют собой фиксированные координаты узлов решетки ₀₁, ₀₂. При этом уравнение Шредингера значительно упрощается. Если ядра в покое, то E_кин=0,потенциальная энергия ядер – константа.

= const

Выбором начала отсчета энергии ее можно обратить в 0. Тогда уравнение Шредингера принимает вид.

Оно описывает движение электронов в поле покоящихся ядер. и зависят от координат покоящихся ядер R_0kлишь параметрически в виде параметров, выбор которых влияет на значение энергии твердого тела и на волновую функцию

= ( r₁, r₂, r₃…r_n, R₁, R₂, R_3,….R_n)

Несмотря на упрощение, уравнение Шредингера решить невозможно. Для решения используются дополнительные приближения. Одним из них является валентная аппроксимация, когда все электроны внутренней оболочки атома образуют вместе с ядром покоящийся атомный остаток (т.е. ион) и уравнение Шредингера записывается для валентных электронов, которые движутся в некотором результирующем поле неподвижных ионов. Но и в этом случае требуется решить задачу многих частиц.