Баланс массы в элементе грунта.

Основные предположения о гравитационном режиме течения грунтовых вод.

Пористая среда представляет собой пласт водопроницаемого материала (песок, глина), ограниченного снизу грунтом, не пропускающим воду (гранит), а сверху – поверхностью земли (рис. 2.1).

Рис. 2.1

Если из-за интенсивной работы артезианских скважин или в результате обильных осадков уровень воды в каком-либо месте слоя изменяется, то под действием силы тяжести начинается движение жидкости, выравнивающее ее свободную поверхность.

Для описания этого процесса, введем ряд предположений:

1) вода рассматривается как несжимаемая жидкость с постоянной плотностью ;

2) толщина пласта много меньше его ширины и длины;

3) подстилающая поверхность не имеет разрывов и изломов, задающая ее известная функция - достаточно гладкая функция своих аргументов;

4) свободная поверхность воды плавно меняется с изменением координат ;

5) грунтовые воды нигде не выходят на поверхность земли, причем на свободной поверхности жидкости давление постоянно;

6) грунт однороден, т.е. его физико-механические свойства не зависят от .

Первое предположение вполне естественно, поскольку в рассматриваемом процессе не могут достигаться давления, способные заметно изменить плотность воды. Остальные предположения упрощающие. Например, второе предположение (тонкий пласт) означает, что течение жидкости двумерное и все его характеристики не зависят от координаты , последние два предположения позволяют построить модель, единообразную во всех точках грунта и т.д. Вместе с тем, предположения 1) – 6) не выхолащивают сути процесса, так как они выполняются в большом количестве реальных ситуаций.

Выделим в пласте элементарный объем, образующийся в результате пересечения вертикальной призмы подстилающей и свободной поверхностями грунта. Поскольку размеры призмы и малы, а функции и гладкие (предположения 3), 4)), то получившееся тело с хорошей степенью точности можно считать параллелепипедом. Ведем неизвестные функции и - составляющие скорости жидкости вдоль осей (рис. 3.1).

Подсчитаем количество жидкости, входящей в параллелепипед и выходящей из него за промежуток времени .

Через грань в элементе грунта входит масса воды, равная объему прошедшей через нее жидкости, умноженному на плотность , т.е. величина

,

а через грань выходит массы воды

.

Рис. 3.1

В этом выражении в сравнении с предыдущем добавляется член, описывающий приращение функции при переходе от плоскости к плоскости . Сама же величина имеет смысл потока массы (вещества).

Итак, при движении жидкости вдоль оси , в элементе грунта накапливается масса

.

Проведя аналогичные рассуждения и , получаем изменение массы воды вдоль за счет ее движения вдоль оси :

.

Поскольку вдоль оси в элементе грунта жидкость не втекает и не вытекает из него (снизу – пласт подстилающий, а через свободную поверхность нет потока вещества), то суммарное изменение массы воды в элементе грунта равно

. (5)

Общее количество жидкости в параллелепипеде равно его объему, умноженному на плотность и на коэффициент пористости (так как часть объема занята грунтом):

.

Изменение массы воды в элементе за время , очевидно, равно

.

Учитывая, что , , из последнего выражение получаем

, (6)

и, приравнивая (5) и (6), приходим к уравнению неразрывности, выражающему закон сохранения массы в рассматриваемом процессе:

. (7)

В уравнении (7) скорость изменения рассматриваемой величины (в данном случае массы) со временем определяется дивергенцией потока этой величины – свойство, характерное для многих моделей, получаемых из законов сохранения.

С учетом того, что , , уравнение (7) переписывается в более простой форме:

. (8)