Уравнение (8) содержит три неизвестных величины - . Следовательно, для замыкания модели необходимо привлечь какие-то дополнительные соображения о характере процесса. Их дает полуэмпирический закон Дарси:
, , (9)
где - давление жидкости, - коэффициент, определяемый свойствами грунта. Согласно закону Дарси компоненты скорости течения жидкости пропорциональны соответствующим компонентам градиента давления. Замети, что по своему физическому смыслу градиент давления – это сила (отнесенная к единицы объема). В т же время согласно закону Ньютона действующая на тело сила пропорционально его ускорению, а не скорости, как в законе Дарси. Однако данное противоречие кажущееся, как при течении через грунт (фильтрации) жидкость преодолевает сопротивление его частиц, в отличие от свободного течения (уравнение движения жидкости).
В формуле (9) имеется новая неизвестная величина – давление жидкости. Ее связь с уже введенными величинами нетрудно найти, приняв предложение о медленном и почти горизонтальном течении воды. Тогда динамической составляющей давления можно пренебречь и вычислить его по чисто гидростатическому закону как давление, создаваемое столбом жидкости:
,
где – давление на поверхности жидкости (например, атмосферное), - ускорение свободного падения. Подставляя последнюю формулу в (9) получаем
, , (10)
и, используя (10) в уравнении неразрывности (8), окончательно приходим к уравнению движения грунтовых вод
, (11)
,
или, к уравнению Буссинеска, содержащему лишь одну неизвестную функцию .
Уравнение (11) нестационарное (искомая функция зависит от ), двумерное ( зависит от ), относящееся к параболическому типу. Оно не однородное, так как функция зависит от , и нелинейное, поскольку в его правой части присутствуют члены вида и . В сравнении с уравнением (1) уравнение Буссинеска – гораздо более сложный математический объект. В силу нелинейности его общее решение не может быть найдено аналитически, однако относительно нетрудно получить некоторые вполне содержательные частные решения, которые служат также тестами при разработке численных методов. Для построения завершенной модели движения грунтовых вод необходимо знать входные данные: форму подстилающей поверхности , коэффициент и краевые условия, задающие функцию в начальный момент времени и на границах пласта (и, быть может, в некоторых выделенных областях пласта, например на артезианской скважине). Простейшим вариантом формулировки краевых условий для уравнения (11) является задание лишь начального условия – функции в момент :
, , .
Такая подстановка отвечает задаче Коши для уравнения (11), решаемого, естественно, также в области , . В задаче Коши по известному распределению уровня грунтовых вод находится функция для всех .
Рассмотрение пласта бесконечных размеров, конечно же, идеализация. Однако если изучается течение в небольшой центральной области пласта на относительно небольшом промежутке времени, то влиянием границ пласта можно пренебречь, и решение задачи Коши носит вполне реальный процесс. Нужно также отметить, что краевые условия были фактически неявно введены в модель при выводе модели Буссинеска. Предположение о непроницаемости пласта было использовано при получении уравнении баланса, а без предположения 5) о «зазоре» между поверхностью земли и поверхностью грунтовых вод (т.е. когда вся жидкость находится в пористой среде) нельзя было бы использовать закон Дарси во всей рассматриваемой области. Разумеется, выполнение этих и других предположений должно контролироваться при изучении данного объекта на основе построенной модели.
При введении дополнительных предположений общая модель упрощается. Так если по каким-то причинам решение не зависит от времени (стационарный процесс), то приходим к эллиптическому уравнению
, (12)
для решения которого, естественно, не требуется задание функции в начальный момент. В простейшем случае (12) превращается уравнение Лапласа. Если подстилающая поверхность горизонтальна ( ), то уравнение Буссинеска становится однородным:
.
При дополнительном предположении об одномерности течения, когда искомое решение зависит лишь от одной пространственной переменной, например, координаты , приходим к уравнению
, (13)
называемому также однородным уравнением типа нелинейной теплопроводности или одномерным уравнением изотермический фильтрации. Одномерными, например, являются течения в пластах, сильно вытянутых по одному из направлений, так что изменением величин вдоль поперечного сечения пласта можно пренебречь (если через ограничивающее его в поперечных направлениях поверхности жидкость не протекает). Наконец, самая простая модель течения грунтовых вод дается уравнением теплопроводности (или уравнением диффузии вещества)
, (14)
получающимся при условии , т.е. для малых изменений уровня жидкости по сравнению с толщиной пласта. Последние три уравнения относятся к параболическому типу, причем уравнение (14) линейное и существуют хорошо известные методы получения его общего решения. Разумеется, кроме перечисленных возможны и другие упрощения исходной модели, например двумерное уравнение (13). Из Уравнения Буссинеска нетрудно получить и более сложные модели, когда неверны некоторые из сформулированных предположений.
В частности, во многих случаях грунт неоднороден, т.е. и , и необходимо учесть поступление жидкости в пласт в результате осадков. Тогда обобщение уравнения Буссинеска имеет вид
, (15)
где характеризует мощность осадков в точке в момент времени .
