Построенные модели в одних случаях основаны на точно известных законах, в других – на наблюдаемых фактах, либо на аналогиях, либо на правдоподобных представлениях о характере объекта. Хотя и сущность рассматривавшихся явлений, и подходы к получению отвечающих им моделей совершенно различны, построенные модели оказались идентичны друг другу. Это свидетельствует о важнейшем свойстве математических моделей – их универсальности, - широко используемом при изучении объектов самой различной природы.
На основе сохранения баланса массы вещества и некоторых дополнительных соображений построим модели потока невзаимодействующих частиц и движения грунтовых вод в пористой среде.
В цилиндрической трубе с поперечным сечением движутся частицы вещества (пылинки, электроны) (рис. 1.1).
Рис.1.1
Скорость их движения вдоль оси , вообще говоря, изменяется со временем. Например, заряженные частицы могут ускоряться или замедляться под действием электрического поля. Для построения простейшей модели рассматриваемого движения введем следующие предположения:
а) частицы между собой не взаимодействуют (не сталкиваются, не притягиваются и т.д.). Для этого, очевидно, плотность частиц должна быть достаточно малой (в этом случае, заряженные частицы не только не сталкиваются, но и не оказывают друг на друга влияния из-за большого расстояния между ними);
б) начальная скорость всех частиц, находящихся в одном и том же поперечном сечении с координатой , одинакова и направлена вдоль оси ;
в) начальная плотность частиц также зависит только от координаты ;
г) внешние силы, действующие на частицы, направлены вдоль оси .
Предположение а) означает, что скорость частиц может изменяться лишь под действием внешних сил, предположения б) - г) обеспечивают одномерность процесса переноса, т.е. зависимость искомой плотности потока частиц только от координаты и времени .
Итак, по заданной начальной плотности , необходимо найти плотность частиц в любой момент времени для любых (скорость движения задана). Прибегнем к закону сохранения массы, подсчитав баланс вещества в малом элементе трубы от до за время (рис. 1.2).
Рис. 1.2
Слева в элементарный объем входит количества вещества с массой, равной
, ,
где - объем вошедшего за промежуток времени вещества.
Через правое сечение за то же время выходит масса, равная
, ,
т.е. суммарное изменение массы равно
.
В силу малости промежутка скорость считается постоянной. Величины , - средние по времени значения плотности в сечения и . Другой способ подсчета изменений в фиксированном объеме очевиден из смысла величины :
, ,
где и - средние по пространству значения плотности по и .
Приравнивая оба полученные для выражения и устремляя и к нулю, приходим к уравнению для , отвечающему закону сохранения массы,
, , , (1)
с начальным условием
, . (2)
Величина (поток вещества или поток массы) равна количеству вещества, проходящему в единицу времени через единичную поверхность поперечного сечения трубы. Как видно из (1), скорость изменения плотности вещества со временем в любом сечении определяется «скоростью» изменения потока вещества по координате . Схожим свойством обладают многие модели, отвечающие законам сохранения и описывающие совсем другие процессы.
В случае постоянной скорости приходим к простейшему линейному уравнению в частных производных
, , . (3)
Его общее решение нетрудно найти, приняв во внимание, что уравнение (3) имеет характеристики – линии , на которых значения искомой функции постоянны во времени, т.е. , или, в эквивалентной записи,
, .
Выбирая , получим
. (4)
Интеграл (4) является общим решением уравнения (3). Из формулы (4) и начальных данных (2) легко найти искомую функцию, причем она зависит не по отдельности от переменных , а от их комбинации (бегущая волна). Пространственный профиль плотности без искажений переносится вдоль потока (рис. 1.3) с постоянной скоростью (уравнение (3) называют также уравнением переноса).
Рис. 1.3
Это основное свойства решения уравнения (3) несколько модифицируется в случае, когда скорость частиц зависит от времени - профиль плотности переносится за равные промежутки времени на разные расстояния. Если по каким-то причинам скорость потока зависит от плотности ( ), то уравнение (1) становится нелинейным и поведение его решения может иметь качественно иной характер.
