русс | укр

Языки программирования

ПаскальСиАссемблерJavaMatlabPhpHtmlJavaScriptCSSC#DelphiТурбо Пролог

Компьютерные сетиСистемное программное обеспечениеИнформационные технологииПрограммирование

Все о программировании


Linux Unix Алгоритмические языки Аналоговые и гибридные вычислительные устройства Архитектура микроконтроллеров Введение в разработку распределенных информационных систем Введение в численные методы Дискретная математика Информационное обслуживание пользователей Информация и моделирование в управлении производством Компьютерная графика Математическое и компьютерное моделирование Моделирование Нейрокомпьютеры Проектирование программ диагностики компьютерных систем и сетей Проектирование системных программ Системы счисления Теория статистики Теория оптимизации Уроки AutoCAD 3D Уроки базы данных Access Уроки Orcad Цифровые автоматы Шпаргалки по компьютеру Шпаргалки по программированию Экспертные системы Элементы теории информации

Поток частиц в трубе.


Дата добавления: 2013-12-23; просмотров: 1916; Нарушение авторских прав


Сохранение массы вещества

Лекция №5.

Заключение.

Построенные модели в одних случаях основаны на точно известных законах, в других – на наблюдаемых фактах, либо на аналогиях, либо на правдоподобных представлениях о характере объекта. Хотя и сущность рассматривавшихся явлений, и подходы к получению отвечающих им моделей совершенно различны, построенные модели оказались идентичны друг другу. Это свидетельствует о важнейшем свойстве математических моделей – их универсальности, - широко используемом при изучении объектов самой различной природы.

 

На основе сохранения баланса массы вещества и некоторых дополнительных соображений построим модели потока невзаимодействующих частиц и движения грунтовых вод в пористой среде.

В цилиндрической трубе с поперечным сечением движутся частицы вещества (пылинки, электроны) (рис. 1.1).

 

Рис.1.1

Скорость их движения вдоль оси , вообще говоря, изменяется со временем. Например, заряженные частицы могут ускоряться или замедляться под действием электрического поля. Для построения простейшей модели рассматриваемого движения введем следующие предположения:

а) частицы между собой не взаимодействуют (не сталкиваются, не притягиваются и т.д.). Для этого, очевидно, плотность частиц должна быть достаточно малой (в этом случае, заряженные частицы не только не сталкиваются, но и не оказывают друг на друга влияния из-за большого расстояния между ними);

б) начальная скорость всех частиц, находящихся в одном и том же поперечном сечении с координатой , одинакова и направлена вдоль оси ;

в) начальная плотность частиц также зависит только от координаты ;

г) внешние силы, действующие на частицы, направлены вдоль оси .

Предположение а) означает, что скорость частиц может изменяться лишь под действием внешних сил, предположения б) - г) обеспечивают одномерность процесса переноса, т.е. зависимость искомой плотности потока частиц только от координаты и времени .



Итак, по заданной начальной плотности , необходимо найти плотность частиц в любой момент времени для любых (скорость движения задана). Прибегнем к закону сохранения массы, подсчитав баланс вещества в малом элементе трубы от до за время (рис. 1.2).

 

Рис. 1.2

Слева в элементарный объем входит количества вещества с массой, равной

, ,

где - объем вошедшего за промежуток времени вещества.

Через правое сечение за то же время выходит масса, равная

, ,

т.е. суммарное изменение массы равно

.

В силу малости промежутка скорость считается постоянной. Величины , - средние по времени значения плотности в сечения и . Другой способ подсчета изменений в фиксированном объеме очевиден из смысла величины :

, ,

где и - средние по пространству значения плотности по и .

Приравнивая оба полученные для выражения и устремляя и к нулю, приходим к уравнению для , отвечающему закону сохранения массы,

, , , (1)

с начальным условием

, . (2)

Величина (поток вещества или поток массы) равна количеству вещества, проходящему в единицу времени через единичную поверхность поперечного сечения трубы. Как видно из (1), скорость изменения плотности вещества со временем в любом сечении определяется «скоростью» изменения потока вещества по координате . Схожим свойством обладают многие модели, отвечающие законам сохранения и описывающие совсем другие процессы.

В случае постоянной скорости приходим к простейшему линейному уравнению в частных производных

, , . (3)

Его общее решение нетрудно найти, приняв во внимание, что уравнение (3) имеет характеристики – линии , на которых значения искомой функции постоянны во времени, т.е. , или, в эквивалентной записи,

, .

Выбирая , получим

. (4)

Интеграл (4) является общим решением уравнения (3). Из формулы (4) и начальных данных (2) легко найти искомую функцию, причем она зависит не по отдельности от переменных , а от их комбинации (бегущая волна). Пространственный профиль плотности без искажений переносится вдоль потока (рис. 1.3) с постоянной скоростью (уравнение (3) называют также уравнением переноса).

 

Рис. 1.3

Это основное свойства решения уравнения (3) несколько модифицируется в случае, когда скорость частиц зависит от времени - профиль плотности переносится за равные промежутки времени на разные расстояния. Если по каким-то причинам скорость потока зависит от плотности ( ), то уравнение (1) становится нелинейным и поведение его решения может иметь качественно иной характер.



<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Малые колебания при взаимодействии двух биологических популяций. | Баланс массы в элементе грунта.


Карта сайта Карта сайта укр


Уроки php mysql Программирование

Онлайн система счисления Калькулятор онлайн обычный Инженерный калькулятор онлайн Замена русских букв на английские для вебмастеров Замена русских букв на английские

Аппаратное и программное обеспечение Графика и компьютерная сфера Интегрированная геоинформационная система Интернет Компьютер Комплектующие компьютера Лекции Методы и средства измерений неэлектрических величин Обслуживание компьютерных и периферийных устройств Операционные системы Параллельное программирование Проектирование электронных средств Периферийные устройства Полезные ресурсы для программистов Программы для программистов Статьи для программистов Cтруктура и организация данных


 


Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!

 
 

© life-prog.ru При использовании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.

Генерация страницы за: 0.005 сек.