Малые колебания при взаимодействии двух биологических популяций.

Колебательный электрический контур.

Это устройство представляет собой конденсатор, соединенный проводами с индуктивной катушкой. В момент цепь замыкается, и заряд с обкладок конденсатора начинает распространяется по цепи.

Сопротивление проводов будем считать равным нулю, емкость конденсатора равна , индуктивность катушки . Для изменяющейся со временем величины , где - заряд на обкладках конденсатора, необходимо получить соответствующее уравнение. Очевидно, что ток и напряжение также являются функциями времени. По физическому смыслу величины в любой момент времени имеет место равенство (емкость равна величине заряда, который необходимо поместить на обкладки конденсатора для увеличения разности потенциалов между ними на единицу).

Так как электрическое сопротивление в цепи отсутствует, то падение напряжения на проводах нет, и разность потенциалов , существующая на конденсаторе, подается непосредственно на катушку. При переменном токе в катушке возникает электродвижущая сила самоиндукции, равная . Закон Ома в цепи в отсутствие сопротивления выглядит следующим образом

,

или

.

Так как по определению (при изменении заряда на конденсаторе в цепи возникает ток), то из последнего соотношения получаем выражение

,

описывающее процесс колебаний величины (а, следовательно, и величин и ) в простейшем электрическом контуре. В системе «емкость – индуктивность» колебания происходят также, как и в системе «шарик – пружина».

Пусть на одной и той же территории проживают две биологических популяции с численностями и , причем первая растительноядная, а вторая употребляет в пищу представителей первой популяции. Скорость изменения определяется скоростью убывания благодаря соседству со второй популяцией

, (1)

где , , член описывает вынужденное убывание (естественной смертностью популяции пренебрегаем).

Численность второй популяции растет тем быстрее, чем больше численность первой популяции, а при ее отсутствии уменьшается со скорость, пропорциональной численности (тем самым ее рождаемость не учитывается, как эффект насыщения):

, (2)

где , .

Очевидно, что система находится в равновесии при и , когда . Рассмотрим малые отклонения системы от равновесных значений, т.е. представим решение в виде , , , . Подставляя и в уравнения (1) и (2), получим, отбрасывая члены более высокого порядка малости,

, (3)

. (4)

Дифференцируя (3) по подставляя в полученное уравнение функция , определяемую из (4), придем к уравнению

.

Следовательно, в системе происходят малые колебания численности с частотой , зависящей только от коэффициентов рождаемости и смертности и . Нужно заметить, что величина подчиняется такому же уравнению, причем если отклонение равно нулю в начальный момент , то имеет максимальную амплитуду, и наоборот. Эта ситуация, когда численности и находятся в противофазе, воспроизводится для всех моментов , ( - период колебаний) и отражает запаздывание реакции численности одной популяции на изменение численности другой.