Примеры использования принципа Гамильтона для построения моделей механических систем рисуют весьма четкую программу действий. Универсальность, строго формализованные и последовательные процедуры, не зависящие от деталей конкретной системы, безусловно, весьма привлекательная черта вариационных принципов. В приведенных выше простых случаях модели могут быть получены и иными способами. Однако, для многих других, более сложных объектов, вариационные принципы оказываются фактически единственным методом построения моделей. Так, например, механические части большинства робототехнических устройств, состоят из большого количества разнообразных элементов, связанных между собой различными способами. Их математические модели включают большое количество уравнений, единообразно получаемых в основном с помощью вариационных принципов. Этот подход успешно применяется также и для систем иной природы (физических, химических, биологических), для которых формулируются соответствующие общие утверждения о характере их эволюции (поведения).
То обстоятельство, что принцип Гамильтона и другие подходы дают совпадающие модели, естественно, что они описывают один и тот же исходный объект. Разумеется, такое совпадение гарантировано, только при одних и тех же предположениях об объекте. Если же идеализация (как один из первых этапов построения модели) проводится одинаково, то разные способы получения моделей должны давать тождественные результаты. Пусть, например, в системе «шарик – пружина» появляется дополнительная постоянная сила некоторого внешнего воздействия на шарик . Тогда из второго закона Ньютона нетрудно получить уравнение движения шарика
.
Применяя принцип Гамильтона к такой системе, необходимо учесть наличие этой силы. Очевидно, что определения обобщенной координаты, обобщенной скорости и кинетической энергии останутся неизменными. В тоже время выражение для потенциальной энергии существенно изменяется на величину, равную работе, произведенной этой силой над системой:
.
Проводя аналогичные выкладки с соответствующим образом измененными величинами и , нетрудно убедиться в том, что принцип Гамильтона дает написанное выше уравнение с внешней силой .
Рассмотрим процессы колебаний в объектах различной природы. Покажем, что несмотря на разную сущность объектов, им соответствуют одни и те же математические модели.
1. Жидкость в U – образном сосуде.
Жидкость занимает часть сосуда U – образной формы, представляющего собой изогнутую трубку радиуса . Масса жидкости , ее плотность . Стенки сосуда идеально гладкие, поверхностным натяжением пренебрегается, атмосферное давление и ускорение свободное падение постоянны.
В состоянии равновесия жидкость, очевидно, покоится, ее высота в обоих коленах сосуда одинакова. Если ее вывести из равновесия, то начнется движение, характер которого установим с помощью закона сохранения энергии, поскольку в силу сделанных предположений ее потери в системе отсутствуют.
Потенциальную энергии системы вычислим через работу, которую необходимо совершить, чтобы переместить ее из состояния равновесия (где ) в положение неравновесия.
Она равна
, , ,
где - вес той части жидкости в левом колене, уровень которой превышает величину . Работа сил атмосферного давления равна нулю, так как для разных колен соответствующие перемещения направлены в разные стороны.
Неизвестные величины и связаны очевидным соотношением , выражающим постоянство полной длины столба жидкости в сосуде с постоянным сечением. Поставляя последнее равенство в выражение для , получаем после интегрирования
.
При вычислении кинетической энергии учтем постоянство сечения трубки и несжимаемость жидкости. Это означает, что столб жидкости движется как целое, и ее скорость одинакова во всех сечениях. Примем за величину , и тогда
,
а из закона сохранения энергии следует
.
Так как , то продифференцировав это выражение, получаем
,
что с учетом такого же соотношения для величины , дает уравнение
,
где - отклонение уровня жидкости от положения равновесия. Оно с точностью до обозначений совпадает с уравнением для системы «шарик – пружина» (в данном случае аналогом шарика служит столб жидкости, а роль пружины играет тяготение). Последовательный отказ от идеализации объекта дает более полные его модели.
