Дадим упрощенную формулировку вариационного принципа Гамильтона для механической системы. На его основе выведем уравнения движения на пружине и маятника в поле сил тяжести. Сопоставим результаты получения моделей из фундаментальных законов и вариационного принципа.
Пусть имеется механическая система, формального или строгого определения которой пока давать не будем, имея в виду, что все взаимодействия между элементами такой системы определяются законами механики (один из простейших примеров, система «шарик – пружина»). Ведем понятие обобщенных координат , полностью определяющих положение механической системы в пространстве. Величина может быть декартовой координатой (например, координата в системе «шарик – пружина»), радиусом-вектором, угловой координатой, набором координат материальных точек, составляющих систему и т.д. Величину естественно называть обобщенной скоростью механической системы в момент времени . Набор величин и определяет состояние механической системы во все моменты времени.
Для описания механической системы вводится функция Лагранжа, которая, в простейших случаях, имеет явный смысл и записывается в следующем виде
, (1)
где и - кинетическая и потенциальная энергии соответственно.
Введем величину , называемой действием:
. (2)
Интеграл (2), очевидно, является функционалом от обобщенной координаты , т.е. функции , заданной на отрезке , он ставит в соответствие некоторое число (действие).
Принцип Гамильтона для механической системы гласит: если система движется по законам механики, то - стационарная функция для , или
. (3)
Фигурирующая в принципе наименьшего действия (3) функция - некоторая пробная функция, обращающаяся в ноль, в моменты и удовлетворяющая тому условию, что - возможная координата данной системы (в остальном произвольна).
Смысл принципа (3) в том, что из всех априори мыслимых (допускаемых) траекторий (движений) системы между моментами выбирается (реализуется) движение, доставляющее минимум функционалу действие (отсюда и происходит название принципа). Функция называется вариацией величины .
Итак, схема применения принципы Гамильтона (3) для построения моделей механических систем состоит в следующем: определяются обобщенные координаты и обобщенные скорости системы, строятся функция Лагранжа и функционал действия , минимизация которого на вариациях координаты и дает искомую модель.
2. Третий способ получения модели системы «шарик – пружина».
Воспользуемся принципов Гамильтона для построения модели движения шарика, соединенного с пружиной. В качестве обобщенной координаты системы естественно выбрать обычную эйлерову координату шарика . Тогда обобщенная скорость - обычная скорость шарика. Функция Лагранжа (1), равная , записывается через значения кинетической и потенциальной энергии системы:
.
Для величины действия получаем выражение
.
Теперь в соответствии со схемой, вычислим действия на вариациях координаты :
.
Последнюю формулу необходимо продифференцировать по (учитывая, что функции от не зависят):
,
и положить в нее :
.
Правая часть этого выражения (равного нулю в согласии с принципом Гамильтона) с помощью интегрирования ее первого члена по частям и с учетом того, что в моменты , преобразуется к виду:
.
Поскольку пробная функция , фигурирующая в формулировке принципа наименьшего действия, произвольна, то часть выражения, стоящая под знаком интеграла в квадратных скобках, должна быть равна нулю во все моменты времени :
,
т.е. движение системы должно описываться уравнением, полученным из закона Ньютона (первый способ) и закона сохранения энергии (второй способ). Все три подхода эквивалентны.
Рассмотрим более сложный пример применения принципа Гамильтона с подробным рассмотрение начальной стадии построения модели – описанием механической системы.
Пусть на неподвижном шарнире повешен маятник – груз массы , находящийся на конце стержня длины (рис. 3.1).
Рис. 3.1
Шарнир считается идеально гладким в том смысле, что на нем не происходят потери энергии на трение. Неподвижность шарнира означает, что от него энергия в систему «стержень – груз» не поступает, такой шарнир не способен совершить над ней какую-либо работу. Стержень считается невесомым и абсолютно жестким, т.е. его кинетическая и потенциальные энергии равны нулю, а груз не может совершить движения вдоль оси стержня. Груз имеет небольшие размеры по сравнению с длиной стержня (материальная точка), ускорение свободного падения постоянно, сопротивлением воздуха пренебрегается, колебания происходят в фиксированной вертикальной плоскости (для чего, очевидно, вектор начальной скорости груза должен лежать в этой плоскости).
После всех этих упрощающих предположений ясно, что положение маятника определяется лишь одной обобщенной координатой, в качестве которой выберем угол , отклонения стержня от вертикали. Обобщенная скорость в данном случае – угловая скорость .
Кинетическая энергия системы дается формулой
,
а потенциальная энергия выражением
,
где - отклонение маятника от наинизшего положения по вертикали.
В дальнейших выкладках, величину в опустим, так как потенциальная энергия определяется с точностью до постоянной.
Теперь нетрудно вычислить функцию Лагранжа (1) и действие (2):
,
.
Находя действие на вариациях :
,
дифференцируя его по и полагая, что , получаем
.
Как и в предыдущем случае, интегрируем первым член выражения в скобках по частям и, учитывая, что в моменты , приходим к следующему уравнению:
,
которое в силу произвольности может удовлетворяться лишь если для всех справедливо равенство
. (4)
Заметим, что уравнение колебаний маятника (4) в отличие от уравнения нелинейно. Это обстоятельство связано с более сложной геометрией системы «стержень – груз», а именно: ускорение, испытываемое грузом, не пропорционально координате, как в случае закона Гука, а является более сложной функцией отклонения от положения равновесия (угол ). Если же эти отклонения малы, то , и модель малых колебаний линейна:
.
Они описываются формулой (аналогичной , ), где - собственная частота малых колебаний, а величины и определяются через , .
