Движение шара, присоединенного к пружине

Пусть - координата шарика вдоль оси пружины, лежащей на горизонтальной плоскости, и направление движение шарика совпадает с его осью. Тогда по второму закону динамики

,

где - масса шарика, - его ускорение. Будет считать плоскость идеально гладкой (то есть движение происходит без трения), пренебрежем также сопротивление воздуха и примем во внимание то, что вес шарика уравновешивается реакцией плоскости (рис. 4.1).

Рис. 4.1

Единственная сила, действующая на шарик в направлении оси , очевидно, сила упругости пружины. Определим ее, используя закон Гука, гласящий, что для растяжения (сжатия) пружины необходимо приложить силу

,

где коэффициент , характеризует упругие свойства пружины, а - величину ее растяжения или сжатия относительно нейтрального, ненагруженного положения .

Уравнение движения шарика принимает вид (уравнение элементарного осциллятора)

, . (5)

Данное уравнение описывает гармонические колебания шара и имеет общее решение

, (6)

где - собственная частота колебаний системы «пружина-шарик». Значения и легко определяются из начального состояния объекта, т.е. и ( - скорость шарика), причем при . Заметим, что уравнение (4) с точностью до обозначений совпадает с (5), поэтому, в пункте 3., речь шла также о процессе колебаний, но применительно к системе «Сатурн-кольцо».

Подходы, с помощью которых строятся модели, не должны противоречить фундаментальным законам природы. Соответствующая проверка непротиворечивости (если она возможна) весьма полезна для установления правильности моделей. Поясним это, используя для вывода уравнения (5) не закон Ньютона, а закон сохранения энергии. Поскольку точка крепления пружины неподвижна, то стенка не совершает работу над системой «пружина-шарик» (и наоборот), и ее полная механическая энергия остается постоянной. Вычислим ее. Кинетическая энергия определяется движением шарика (пружина считается невесомой):

.

Потенциальная энергия системы «содержится» в пружине, ее нетрудно найти, определив работу необходимую для растяжения (сжатия) пружины на величину :

.

Для неизменной со временем величины (интеграла энергии) получаем

.

Так как , то, продифференцировав интеграл энергии по , приходим к выражению

,

т.е. к уравнению (5), проверив тем самым правильность его получения. Подобную процедуру нетрудно провести и для других примеров.

5. Основные выводы.

1. Даже в простейших ситуациях для построения модели может потребоваться использование не одного, а нескольких фундаментальных законов.
2. Прямое формальное применение фундаментальных законов к объекту, рассматриваемому как целое, не всегда возможно. В этих случаях требуется просуммировать элементарные акты взаимодействия между его частями, принимая во внимание свойства объекта (например, его геометрию).
3. Одними и теми же моделями могут описываться совершенно разные по своей природе объекты, подчиняющиеся разным фундаментальным законам, и, наоборот, данному закону могут отвечать принципиально разные модели (например, линейные и нелинейные).
4. Необходимо использовать все возможности для проверки правильности построения модели.