Метод Ньютона–Рафсона.

Идея метода заключается в линеаризации уравнений системы (5.1), что позволяет свести исходную задачу решения СНУ к многократному решению системы линейных уравнений.

Рассмотрим, как были получены расчетные зависимости метода.

Пусть известно приближение x_i⁽^k⁾ решения системы нелинейных уравнений x_i^*. Введем в рассмотрение поправку Dx_i как разницу между решением и его приближением:

Подставим полученное выражение для x_i^* в исходную систему.

…

Неизвестными в этой системе нелинейных уравнений являются поправки Dx_i. Для определения Dx_i нужно решить эту систему. Но решить эту задачу так же сложно, как и исходную. Однако эту систему можно линеаризовать, и, решив ее, получить приближенные значения поправок Dx_i для данного приближения, т.е. Dx_i⁽^k⁾. Эти поправки не позволяют сразу получить точное решение , но дают возможность приблизиться к решению, – получить новое приближение решения

, (5.14)

Для линеаризации системы следует разложить функцию f_i в ряды Тейлора в окрестности x_i⁽^k⁾, ограничиваясь первыми дифференциалами.

Полученная система имеет вид:

, (5.15)

Все коэффициенты этого уравнения можно вычислить, используя последнее приближение решения x_i⁽^k⁾. Для решения системы линейных уравнений (5.15) при n=2,3 можно использовать формулы Крамера, при большей размерности системы n – метод исключения Гаусса.

Значения поправок используются для оценки достигнутой точности решения. Если максимальная по абсолютной величине поправка меньше заданной точности e, расчет завершается. Таким образом, условие окончания расчета:

δ =

Можно использовать и среднее значение модулей поправок:

В матричной форме систему (5.15 ) можно записать как:

(5.16)

где:

, - матрица Якоби (производных),

- вектор поправок

- вектор-функция

W(X⁽^k⁾) – матрица Якоби, вычисленная для очередного приближения.

F(X⁽^k⁾) – вектор-функция, вычисленная для очередного приближения.

Выразим вектор поправок ∆X⁽^k⁾из (5.16):

где W^-1 – матрица, обратная матрице Якоби.

Окончательно формула последовательных приближений метода Ньютона решения СНУ в матричной форме имеет вид:

(5.17)

Достаточные условия сходимости для общего случая имеют очень сложный вид, и на практике проверяются редко. Нужно отметить, что метод сходится очень быстро (за 3 – 5 итераций), если det|W| ¹ 0 и начальное приближение X⁽⁰⁾ выбрано близким к решению (отличаются не более чем на 10%).

Алгоритм решения СНУ методом Ньютона состоит в следующем:

1. Задается размерность системы n, требуемая точность ε, начальное приближенное решение X = (x_i)_n.

2. Вычисляются элементы матрицы Якоби W = (¶¦_i ¤ ¶x_j)_n_,_n.

3. Вычисляется обратная матрица W^-1.

4. Вычисляется вектор функция F=(f_i)_n , , .

5. Вычисляются вектор поправок

6. Уточняется решение

7. Оценивается достигнутая точность δ= или

8. Проверяется условие завершения итерационного процесса

δ≤ε

Если оно не соблюдается, алгоритм исполняется снова с пункта 2.

Для уменьшения количества арифметических действий Рафсон предложил не вычислять обратную матрицу W^-1, а вычислять поправки как решение СЛУ (5.15)

Схема алгоритма метода Ньютона - Рафсона представлена на рис.5.2. При разработке схемы учтена необходимость защиты итерационного цикла от зацикливания: введен счетчик итераций k и ограничение на число итераций k_max (на практике не более 100).

Рис 5.5. Схема алгоритма решения СНУ методом Ньютона – Рафсона.

Достоинством методов Ньютона является быстрая сходимость, недостатками - сложность расчетов (вычисление производных, многократное решение системы линейных уравнений), сильная зависимость от начального приближения.

Пример 5.3. Требуется методом Ньютона-Рафсона уточнить одно из решений системы

x₁²+x₂²=1