Решение систем нелинейных уравнений (СНУ).

При моделировании задача нахождения решения системы алгебраических или трансцендентных уравнений является распространенной вычислительной задачей. Например, к решению таких систем сводятся расчеты фазового и химического равновесия многокомпонентных смесей, расчеты статических режимов многих технологических процессов и др.

Запишем систему n нелинейных уравнений с n неизвестными (СНУ) в общем виде:

f₁(x₁, x₂, …, x_n) = 0

f₂(x₁, x₂, …, x_n) = 0 (5.1)

…

f_n(x₁, x₂, …, x_n) = 0

Эту систему можно записать в компактной, операторной форме:

F(X) = 0 (5.2)

где

Решением системы называется набор значений , (вектор X^*), при которых все функции f_i равны 0 (система (5.1) обращается в тождество.)

СНУ могут иметь единственное решение, множество решений или вообще не иметь его. Поэтому численное решение СНУ проводят в два этапа:

1 этап – отделение решений.

2 этап – уточнение всех или только нужных решений.

5.1. Отделение решений.

Отделить решения – значит установить количество решений, определить приближенные значения каждого из них или указать область, в которой решение существует и является единственным.

Задача отделения решений достаточно просто решается только для системы двух уравнений с двумя неизвестными.

f₁(x₁, x₂) = 0

f₂(x₁, x₂) = 0

Для этого необходимо в координатах (x₁, x₂) построить кривые

f₁(x₁,х₂) = 0, f₂(x₁,х₂) = 0.

Точки пересечения этих кривых являются решениями системы. Так как координаты точек пересечения определяются приближенно, целесообразно говорить об области существования решения D. Эта область задается интервалами по каждой координате, внутри которых находятся искомые значения неизвестных.

Рис. 5.1. Графическое отделение решений СНУ.

Для систем с большим числом неизвестных (n ³ 3) удовлетворительных общих методов определения области существования решения нет. Поэтому при решении СНУ эта область обычно определяется при анализе решаемой задачи, например, исходя из физического смысла неизвестных.

Отделение решений позволяет:

1. Выявить число решений и область существования каждого из них.

2. Проанализировать возможность применения выбранного метода решения СНУ в каждой области.

3. Выбрать начальное приближение решения X⁽⁰⁾ из области его существования, так что X⁽⁰⁾ÎD.

При отсутствии информации об области существования решения СНУ выбор начального приближения X⁽⁰⁾ проводиться методом проб и ошибок (методом “тыка”).

Пример 5.1. Отделить решения системы

x² + y²=1

ln(x)+2y=-1

Запишем систему в стандартном виде (5.1).

Область определения функций

Очевидно, что решения могут быть только в общей области определения этих функций.

Решения существуют, т.к. D₀ ≠ Æ.

Для отделения решения нужно построить графики функций в общей области определения.

График первой функции – окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

Для построения графика второй функции нужно вычислить значение в нескольких точках общей области определения D₀:

- при x₁ = +0 (очень маленькое положительное число) х₂ = +¥.

- при x₁ = (1/е) ≈ 0,33 .

- при x₁ = 1

- при x₁ = 0,5

Имеются два решения.

Область существования первого решения ,

второго решения

.

Точность отделения решений зависит от точности построения графиков.

5.2. Методы уточнения решений СНУ.

Уточнение интересующего решения до требуемой точности ε производится итерационными методами.

Основные методы уточнения решений СНУ получены путем обобщения итерационных процессов, используемых при решении одного нелинейного уравнения.

5.2.1. Метод простых итераций.

Как и в случае одного уравнения, метод простых итераций заключается в замене исходной системы уравнений (5.1) эквивалентной системой

X=Φ(X) (5.3)

и построении итерационной последовательности

X^(k) = Φ(X^(k-1)) , где k=1,2,3,… - номер итерации, (5.4)

которая при k→∞ сходится к точному решению.

Здесь - итерирующая вектор-функция, X⁽⁰⁾ D – начальное

приближение решения.

В развернутом виде формула итерационного процесса (выражение для вычисления очередного k-го приближения решения) имеет вид:

x_i.^(k) = φ_i(x₁^(k-1), x₂^(k-1), … , x_n^(k-1)), . (5.5)

Условие окончания расчета

δ≤ε (5.6)

где ε - заданная точность решения;

δ = (5.7)

или

δ = (5.8)

Итерационный процесс (5.5) сходиться к точному решению, если в окрестности решения соблюдаются условия сходимости:

(5.9)

или

(5.10)

Таким образом, для уточнения решения СНУ методом простых итераций нужно найти такое эквивалентное преобразование (5.1) в (5.3), чтобы в области существования решения выполнялись условия (5.9) или (5.10).

В простейшем случае эквивалентную систему можно получать как:

,

Можно выделить (не обязательно явно) все неизвестные из уравнений системы так, что:

,

Как и в случае одного уравнения задачу поиска эквивалентного преобразования можно свести к задаче определения (в простейшем случае подбора) значений констант l_i ≠ 0, , обеспечивающих сходимость

Рис. 5.1. Схема алгоритма метода простых итераций.

Выражение для расчета очередного к-го приближения примет вид:

, ; (5.11)

Для реализации данного приема, аналогичного методу Гаусса-Зейделя для систем линейных уравнений, в алгоритм расчета следует внести изменения: формулу расчета очередного приближения (символ 5) записать как X=φ(x) или в развернутом виде:

,

Существуют и другие приемы улучшения сходимости метода простых итераций. Например, новое приближение вычислять как среднее арифметическое двух предшествующих приближений:

, (5.12)

Можно использовать поправку Эйткена для улучшения сходимости:

, (5.13)

Пример 5.2.

Методом простых итераций уточнить ранее (пример 5.1) отделенные решения системы уравнений:

x₁²+x₂²=1

ln x₁+2x₂= –1

Области существования решений:

,

Для получения эквивалентной системы из первого уравнения выразим x₁

из второго уравнения x₂

Определим частные производные:

Проверим условия сходимости в окрестности первого решения, взяв точку в центре области существования этого решения х₁=0,1; х₂=0,9.

Использовать полученную эквивалентную систему для уточнения первого решения нельзя, т.к. условия сходимости не соблюдаются.

Проверим условия сходимости для этой же эквивалентной системы в окрестности второго решения: х₁=0,9; х₂=-0,4.

Условия сходимости соблюдаются, следовательно полученную эквивалентную систему можно использовать для уточнения второго решения.

Выполним несколько итераций для уточнения 2-го решения:

Начальные значения k = 0 ; ;

Первая итерация k = 1 ;

Вторая итерация k = 2 ;

Третья итерация k = 3

Четвертая итерация k = 4

Итерационный процесс сходиться, для достижения требуемой точности нужно выполнить еще несколько итераций.

После 8-ой итерации х₁=0,8956, х₂=-0,4446, δ по формуле (5.7) равна 0,0005.

Рассмотрим использование приема Гаусса–Зейделя (5.11) для ускорения итерационного процесса.

Начальные значения k = 0, ; ;

Первая итерация k = 1 ;

Вторая итерация k = 2 ;

После 5 итерации получим следующие результаты: х₁=0,8957, х₂=-0,4449 δ=0,0006.

Для уточнения первого решения нужно найти другую формулу итерационного процесса.

Например, если из первого уравнения выразить х₂, а из второго х₁ получим:

Проверка условий сходимости в окрестности первого решения показывает, что приведенные формулы можно использовать для уточнения первого решения.

Для х⁽⁰⁾=(0,1;0,9)