В формуле итерационного процесса метода простых итераций (4.6) к моменту вычисления xi(k) уже вычислены значения x1(k),x2(k),...,xi-1(k).
Очевидно, что эти значения в большинстве случаев ближе к решению и их можно использовать для вычисления xi(k). Исходя из этого, Гаусс и Зейдель предложили видоизмененную формулу итерационного процесса
(4.11)
Условие завершения итерационного процесса (4.7) и условия сходимости (4.10) справедливы и для данного метода. Поэтому схема алгоритма Гаусса-Зейделя отлична только формулой расчета нового приближения:
Метод этот, как правило, позволяет достичь требуемой точности ε за меньшее число итераций, т.е. имеет лучшую сходимость.
Достоинства итерационных методов:
1. Погрешность округления не накапливается от итерации к итерации.
2. Число итераций при n>100 обычно меньше n , поэтому общее число действий меньше n3, т.е. меньше, чем в методе исключений Гаусса.
3. Не требуется больший объем памяти.
4. Итерационные методы особенно выгодны для систем с большим количеством нулевых коэффициентов (систем с разряженной итерацией). Методы исключения наоборот: чем больше нулей, тем чаще требуется выбирать новую рабочую строку.
Недостаток - не всегда можно обеспечить сходность итерационного процесса. С увеличением размерности системы труднее выполнить линейные преобразования для обеспечения сходимости.
Рис. 4.7. Схема алгоритма метода простых итераций
Тема 5
