Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов

(с положительными членами)

I. Признаки сравнения рядов.

Теорема 1. Пусть даны два знакоположительных ряда: (1) и (2). Если для всех n выполняется неравенство: (3). То из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), а из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).

Замечания:

a) Теорема 1 справедлива и в том случае, когда неравенство (3) выполняется не для всех членов рядов (1) и (2), а начиная с некоторого номера N;

b) знакоотрицательный ряд переходит в знакоположительный путем умножения на «-1», что не влияет на сходимость ряда.

Теорема 2. Предельный признак сравнения.

Пусть даны два знакоположительных ряда (1) и (2). Если существует конечный, не равный нулю, предел , то ряды (1) и (2)сходятся или расходятся одновременно.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда:

Решение. Сравним данный ряд с рядом геометрической прогрессии . Этот ряд сходится, т.к. q=1/2<1. Мы имеем . Следовательно, по теореме 1 исходный ряд сходится.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда:

Решение. Сравним данный ряд с гармоническим расходящимся рядом.

Мы имеем . Следовательно, исходный ряд расходится.

Ряд, с которым сравнивают исследуемый ряд, называется эталонным.

В качестве эталонных рядов используются:

1) гармонический ряд Он расходится.

2) обобщенный гармонический ряд . При α>1 ряд сходится, а при - расходится.

3) Геометрический ряд . Ряд сходится при |q|<1, и расходится при .

Замечания:

a) при решении примеров иногда требуется отбросить несколько членов ряда, если сначала есть отрицательные члены, а затем ряд знакоположительный. По третьему свойству это не влияет на сходимость ряда.

b) Если общий член ряда представляет собой отношение двух многочленов, то при подборе эталонного обобщенного гармонического ряда значение α выбирают равным разности наибольших показателей степеней знаменателя и числителя.