Это ряд:
(13.6)
где 
- некоторое число, q – знаменатель геометрической прогрессии.
Как известно, сумма первых n членов геометрической прогрессии находится по формуле:
(13.7)
Найдем предел этой суммы: 
Рассмотрим следующие случаи в зависимости от величины q:
1) |q|<1, то 
, поэтому 
,
т.е. ряд сходится и его сумма равна 
(13.8).
2) |q|>1, то 
, поэтому 
и ряд расходится.
3) |q|=1, то при q=1 ряд принимает вид 
и
, ряд расходится. При q=-1 ряд принимает вид 
. Следовательно, 
не существует и ряд расходится.
Вывод: ряд геометрической прогрессии сходится при |q|<1, и расходится при 
.
