Свойства собственных векторов и собственных значений.

1°. Все собственные векторы, принадлежащие одному и тому же собственному значению, вместе с нулевым вектором образуют линейное подпространство. Действительно, они получены как решения СЛОУ образуют линейное подпространство.

2°. Теорема 4. Если собственные векторы , принадлежат попарно различным собственным значениям, то они линейно независимы.

Доказательство. (Методом математической индукции). – очевидно. Пусть верно для . Докажем для . Предположим противное. Пусть :

.

(6)

Пусть . Подействуем на это равенство. Имеем, . Умножив (6) на , вычитая из последнего равенства, имеем . Т.е., получили, что вектор линейно зависимы. Получили противоречие. ■

3°. Если и – матрицы линейного преобразования в различных базисах, то характеристические многочлены этих матриц совпадают. Действительно, .

Выпишем вид характеристического многочлена: , где – след матрицы .

4°. Известно, что у характеристического многочлена могут быть простые корни, т.е. кратности 1, а могут быть кратные корни.

Теорема 4. Пусть – корень характеристического многочлена кратности . Тогда, ему соответствует не более линейно независимых собственных векторов.

Доказательство: Пусть имеется линейно независимых собственных векторов, соответствующих : . Дополним их до базиса в : . В этом базисе матрица имеет вид , где – матрица размера . Составим матрицу и вычислим для нее определитель. Раскладывая его по первым столбцам, получаем: . По определению кратности, . ■

Замечание. Характеристическому значению кратности могут соответствовать меньше, чем линейно независимых собственных векторов: например, , . Один независимый собственный вектор.

5°. Линейное преобразование имеет собственное значение равное нулю оно не является взаимно однозначным.

Доказательство: . Если и обратно. ■

7°. О приведении матрицы преобразования к диагональному виду.

Утверждение 8. Матрица линейного преобразования в базисе имеет диагональный вид все векторы базиса – собственные векторы преобразования.

Доказательство: Действительно, если – собственный, то –ый элемент столбца , равен , а остальные равны нулю. Обратно, аналогично. ■

Утверждение 9. Если преобразование имеет n попарно различных собственных значений, то существует базис из собственных векторов этого преобразования.

Доказательство: Следует из теоремы 4.

Может оказаться, что собственное значение имеет кратность , но не существует линейно независимых собственных векторов.