Линейные преобразования векторных пространств

1°. Определение. Теорема о поляризации.

Определение 1. Пусть – симметрическая билинейная форма. Функция , которая получается из , если положить , называется квадратичной формой.

называется билинейной формой, полярной к квадратичной форме . Из симметричности Þ

Теорема 1. Полярная форма однозначно определяется своей квадратичной формой .

Доказательство. Из определения билинейной формы следует

Справа стоят квадратичные формы Þ билинейная форма определяется своей квадратичной формой. ■

Матрица симметричной билинейной формы называется матрицей, соответствующей квадратичной форме . Так как

в данном фиксированном базисе, где , то всякая квадратичная форма при заданном базисе выражается формулой:

, (1)

или в матричном виде,

. (1¢)

Правая часть (1) – однородный многочлен второй степени относительно .Он содержит подобные члены в силу Þ после приведения подобных, имеем

Еще два важных определения.

Определение 2. Квадратичная форма называется

1) положительно (отрицательно) определенной, если

(такие формы называются знакоопределенными);

2) знакопеременной, если

3) квазизнакоопределенной, если или , но .

Далее будут указаны признаки, по которым форму можно отнести к каждому из классов.

Пример: – положительно определенная.

Определение 3. Ранг матрицы квадратичной формы называется рангом квадратичной формы.

Если , то форма называется невырожденной, если – то вырожденной.

Далее нам понадобятся следующие две леммы о рангах матрицы.

Пусть и .

Лемма 1. Ранг произведения матриц не больше ранга любого из сомножителей, т.е.

, (2)

. (3)

Доказательство. Докажем равенство (3). В начале тривиальные случаи:

1) если , то – нулевая – нулевая , т.е. (3) доказано.

2) если (число столбцов), то также очевидно, так как – число столбцов в .

Далее пусть и . Тогда имеет базисных столбцов и хотя бы один столбец не принадлежащий этой системе. Пусть базисных столбцов – это первые столбцы. Тогда –ый столбец, , выражается через них по теореме о базисном миноре:

, т.е. .

По определению произведения матриц имеем: . Тогда , т.е. в матрице столбец с номером , также выражается через ее первые столбцов:

Значит, ранг столбцов матрицы не больше , т.е. , т.е. (3) доказано.

Для доказательства (2) перейдем к транспонированным матрицам: . ■

Замечание: Из Леммы 1 не следует, что первые столбцов матрицы линейно независимы.

Лемма 2. Пусть и – невырожденные. Тогда не изменяется при умножении на и на , т.е.

Доказательство. Пусть (по Лемме 1). Но ч.т.д. ■

2°. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Очевидно, что выражение (1) квадратичной формы через координаты вектора зависит от выбора базиса в линейном пространстве. Оказывается, выбирая базис определенным образом, можно привести квадратичную форму к некоторому простейшему виду, а именно, справедлива

Теорема 1. Для каждой квадратичной формы базис, в котором

, (4)

т.е. матрица квадратичной формы является диагональной.

Доказательство. По индукции по числу переменных.

1) При в произвольном базисе квадратичная форма имеет диагональный вид.

2) Пусть утверждение справедливо для квадратичной формы от переменной и докажем для переменных. Пусть в произвольном базисе

Если все , то матрица диагональная. Далее будем рассматривать случай, когда хотя бы одно .

Рассмотрим два случая.

1) Все . Тогда перенумерованием переменных можно добиться, что , т.е. имеется слагаемое . Заменим координаты по формуле:

Этой замене соответствует матрица , причём с определитель не равен 0. Т.е. это матрица – матрица перехода к новому базису.

При этой замене член перейдет в и, так как по предположению, , то он ни с чем не может сократиться, и значит коэффициент при не равен 0.

Таким образом, при необходимости делая перенумерование, всегда можем рассматривать случай:

2) . Тогда в квадратичной форме выделим все члены, содержащие :

Дополним эту сумму до полного квадрата:

где через обозначены члены, содержащие лишь квадраты и попарные произведения членов . Подстановка этого выражения в (1) дает

где – квадратичная форма от переменной .

Согласно предположению индукции, замена переменных

согласно которой приводится к виду

Положим , и получим для диагональный вид. Последняя замена имеет матрицу и .

Обратная к ней матрица является матрицей перехода к искомому базису. ▄

Замечание 1: Способ приведения квадратичной формы к диагональному виду, данный в доказательстве, называется методом выделения квадратов.

Пример:

Определение 4. Диагональный вид квадратичной формы в вещественном пространстве называется каноническим, если коэффициенты .

В комплексном пространстве вид канонический, если .

Базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, называется каноническим. Он, обычно, определен неоднозначно.

Следствие (к Теореме 1). Для каждой квадратичной формы базис, в котором она имеет канонический вид.

Доказательство. Вначале приведем квадратичную форму к диагональному виду, а затем, если , то остаётся без изменения, если , то замена .

Очевидно, что после этого получается канонический вид и эта замена невырожденная. ■

Замечание 2 (о ранге квадратичной формы). После приведения квадратичной формы к диагональному виду переменные перенумеровывают так, что первые переменных имеют ненулевые (первые слагаемых имеют коэффициент 1, остальные (–1)) и далее 0:

Ясно, что . Очевидно, что в силу Леммы 1и 2, при переходе к новому базису ранг не меняется и значит, т.к. он для канонического вида равен , то и в другом базисе равен . Более того, при любом приведении к каноническому виду число отличных от нуля канонических коэффициентов одно и то же и равно рангу квадратичной формы.

3°. Метод Якоби приведения к каноническому виду.

Дает формулы, выражающие искомый канонический базис через исходный .

Теорема 3. Пусть в базисе квадратичная форма имеет вид , . Пусть определители

(5)

Тогда существует базис , в котором записывается в виде суммы квадратов следующим образом , где и – координата вектора в базисе .

Дающийся в теореме способ приведения квадратичной формы к сумме квадратов называется методом Якоби.

Доказательство: Необходимо определить новый базис так, что при . Будем искать в виде

(6)

Коэффициенты можно было бы найти из условия при . Однако это привело бы к решению уравнений второго порядка на . Поступим иначе.

Если , для , то , для . Действительно, подставляя вместо выражение , получаем если , и , то в силу симметрии билинейных форм . Т. о., задача свелась к следующей: определить так, что удовлетворяли условиям

, для

(7)

Этими условиями определяются с точностью до постоянного множителя. Зафиксируем этот множитель условием

(8)

Сейчас увидим, что требования (7), (8) определяют вектор однозначно. Действительно, подставляя в (7), (8) выражение для , имеем:

(9)

По условию (5) определитель этой системы линейных уравнений отличен от нуля по теореме Крамера решение $!.

Теперь найдем коэффициенты квадратичной формы в базисе . Так как , то по построению при .

Вычислим |в силу (7), (8)|= . По правилу Крамера, из (9) , что и требовалось доказать. ■

Замечание. Приведенный выбор базиса не единственный.

Пример. Привести к диагональному виду форму , данную в базисе

Здесь

, и , т.е. не обращаются в нуль миноры из условия теоремы. Пусть

В силу теоремы о поляризации соответствующая билинейная форма имеет вид

из . Для и имеем уравнения и .

Наконец, для , и имеем систему уравнений:

т.е. , , , , , т.е. .

В этом базисе квадратичная форма имеет вид .

4°. Закон инерции квадратичных форм.

Как было показано ранее, число отличных от нуля коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы не зависит от вида преобразования, с помощью которого приводится к каноническому виду. В действительности, не меняется число положительных и отрицательных коэффициентов. Это свойство называется законом инерции квадратичных форм. А именно справедливо утверждение.

Теорема 4(закон инерции квадратичных форм). Число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами в каноническом виде квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду.

Доказательство. Пусть форма с помощью некоторого преобразования координат приводится к виду

а с помощью другого преобразования того же вида – к

Для доказательства теоремы надо показать, что .

От противного. Предположим, что . Покажем, что в этом случае существует ненулевой вектор : в новых координатах и , координаты и равны нулю, т.е.

Каждое из этих уравнений имеет вид:

с известными . Так как уравнений меньше, чем эти уравнения имеют ненулевое решение в силу равенства в новых переменных , т.е. – нулевой вектор, что противоречит тому, что – ненулевой предположение – неверно . В силу симметричности законов приведения – неверно . Что и требовалось доказать. ■

5°. Классификация квадратичных форм.

Определение 5. Индексом инерции квадратичной формы называется число отличных от нуля коэффициентов канонического вида (т.е. ранг формы), положительным (отрицательным) индексом – число положительных (отрицательных) коэффициентов.

Очевидно, что сумма положительных и отрицательных индексов инерции равна индексу инерции.

Обозначим – индекс инерции, положительный и отрицательный индексы соответственно, . Тогда квадратичная форма может быть приведена к виду в некотором базисе .

Утверждение 3: Для того, чтобы квадратичная форма , заданная в –мерном пространстве , была знакоопределенной, необходимо и достаточно, чтобы, либо , либо . Если , то форма положительно определена, если – отрицательно определена.

Доказательство: приведем для положительно определенной.

– положительно определена приводится к виду , если , то $ , .

Пусть и для – положительно определена.

Утверждение 4: Форма – знакопеременная и положительный и отрицательный индексы отличны от нуля.

Доказательство: квадратичная форма принимает и положительные и отрицательные значения в каноническом виде должны быть как положительные, так и отрицательные выражения

(10)

Если справедливо (10), то для , , а для , (10) – канонический вид знакопеременной формы.

Утверждение 5: Для того, чтобы была квазизнакоопределенной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения либо , , либо , .

Доказательство: Аналогично п. 4

6°. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы.

(позволяет исследовать без приведения к каноническому виду)

Пусть – квадратичная форма и – угловые миноры.

Теорема 5 (критерий Сильвестра). Для того, чтобы квадратичная форма была положительно определена, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены неравенства .

Для того чтобы, форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров чередовались, причем D₁<0

Доказательство: Докажем в начале, что из условия знакоопределенности следует, что

Ä пусть . Рассмотрим систему ЛОУ

, то определитель система имеет нетривиальное решение. Пусть – такое решение. Умножая первое уравнение на –е на и складывая, получим : =0, т.е. получили, что квадратичная форма на ненулевом векторе обращается в нуль. Это противоречит знакоопределенности , . Поэтому можно применить теорему Якоби (теорема 3) и воспользоваться формулой для коэффициентов . Если – положительно определена, то все , так как , .

Если – отрицательно определенная форма, то , т.е. знаки угловых миноров чередуются.

Пусть выполнены условия, что , можно воспользоваться методом Якоби форма положительно определена.

Если знаки чередуются и , то форма отрицательно определена. Что и требовалось доказать. ■

Замечание:Отрицательный индекс инерции равен числу перемен знаков в последовательности определителей .

Линейные преобразования векторных пространств

1°. Основное определение.

Ранее рассматривали функции, т.е. правила, по которым ставилось в соответствие число. Теперь обобщим это понятие.

Определение 1. Пусть – –мерному векторному пространству поставлен в соответствие (тому же пространству). Соответствие назовём преобразованием пространства .

Преобразование называется линейным, если

Примеры:

1. Пусть – подпространство в трехмерном пространстве . соответствующему поставим в соответствие его проекцию на : . Это линейное преобразование, свойства 1, 2 – легко проверяются.

2. Пусть – матрица , – пространство – чисел . . Это линейное преобразование.

3. – пространство многочленов степени . Пусть – т.е. производная многочлена. Линейность – очевидна.

4. , – линейность из свойств интеграла.

Это пример преобразования в бесконечномерном пространстве. Далее – лишь конечномерные.

2°. Матрица линейного преобразования.

Пусть – базис в и – линейное преобразование. Каждый . Векторы не зависят от и они могут быть разложены по базису : , т.е. если , где

. (1)

Определение 2. Матрицей линейного преобразования в базисе называется матрица (1), столбцы которой – координаты образов векторов в базисе .

Утверждение 1. Выбор базиса в устанавливает взаимно однозначное соответствие между линейными преобразованиями этого пространства и квадратными матрицами порядка .

Доказательство: Итак, показано, что если выбран базис, то любому преобразованию соответствует матрица (1). В соответствии с примером 2 из пункта 1, любой матрице соответствует линейное преобразование. Осталось проверить, что разным матрицам соответствуют разные преобразования. Пусть и – разные преобразования, т.е. . Если они имеют одну и ту же матрицу , то для имеем: ,то противоречит.

При изменении базиса матрица линейного преобразования, вообще говоря, изменяется.

Примеры:

1. Пусть – трёхмерное пространство с базисом , а – оператор проектирования на плоскость . Тогда матрица .

2. Если – тождественное преобразование, то

3. – многочлены степени . .

Базис : .

Тогда .

Таким образом, матрица .

Рассмотрим формулы преобразования при переходе к другому базису. Пусть . Пусть .

Свойства.

1°. Ранг матрицы линейного оператора при переходе от одного базиса к другому является инвариантом.

2°. Определитель матрицы линейного оператора инвариантен.

Доказательство. Следует из свойств ранга и определителя.

3°. Сложение и умножение линейных преобразований.

Определение 3.Произведением линейных преобразований и называется .

Очевидно, что – линейное преобразование: .

Если – единичное преобразование, то .

Можно определить степени преобразований: .

Тогда .

Пусть в базисе преобразованию соответствует матрица , , . Выразим через и .

По определению

Далее , т.е. есть сумма произведений элементов –ой строки на –ый столбец – произведение матриц все свойства произведения матриц переносятся на преобразования (ассоциативность, не коммутативность).

Определение 4. Суммой преобразований и называется . Легко показать, что матрица

Операции сложения и умножения удовлетворяют обычным свойствам сложения и умножения матриц. Это следует из того, что между матрицами и преобразованиями есть взаимно однозначное соответствие. Нулевое преобразование – нулевая матрица.

Утверждение 2. Множество преобразований линейного пространства образует кольцо, называемое кольцом эндоморфизмов.

Определение 5. Произведением линейного преобразования на число называется преобразование .

Свойства: очевидны.

Утверждение 3.множество линейных преобразований образует линейное пространство размерности .

Следствие. Матрицы – линейно зависимы множеств степени

4°. Обратное преобразование. Ядро и образ преобразования.

Определение 6. Преобразование называется обратным к , если , где – единичное преобразование.

Обратное преобразование обозначается .

Обратное преобразование не у всех. Известно, что если у матрицы A , тогда и только тогда, когда

Утверждение 4. Преобразование имеет обратное его матрица в некотором базисе имеет . Такое преобразование называется невырожденным.

Очевидно, что невырожденные преобразования являются взаимнооднозначными.

Определение 7. Взаимнооднозначное преобразование называется автоморфизмом.

Утверждение 5. Множество автоморфизмов линейного пространства образует группу, изоморфную группе невырожденных матриц.

Далее – ядро и образ линейного преобразования.

Определение 8. Совокупность всех векторов вида , где , называют образом пространства при преобразовании .

Утверждение 6. – подпространство в .

Доказательство: Пусть

Аналогично, из

Определение 9. Размерность называется рангом .

Пример: Ранг преобразования проектирования из в имеет ранг 2.

Определение 10. Совокупность векторов , называется ядром преобразования .

Утверждение 7. – подпространство в .

Доказательство:Если

Очевидно, что если не вырожденное преобразование, то его ядро состоит лишь из нуля.

Теорема 1. Пусть – произвольное линейное преобразование в . Тогда

Доказательство: Пусть . Тогда – базис в ядре , который может быть дополнен до базиса . Рассмотрим . Множество этих векторов образует подпространство, совпадающее с . Действительно, если – произвольный вектор из , то , что и требовалось доказать. ■

Покажем, что вектора – линейно независимы. От противного.

Пусть . Рассмотрим . Тогда , т.е. . Противоречие, т.к. с одной стороны x представим как линейная комбинация базисных векторов ядра, т.е. , с другой стороны . Это противоречит единственности представления вектора в базисе – линейно независимы

5°. Инвариантные подпространства линейного оператора.

Определение 11. Пусть – линейное преобразование в . Линейное подпространство называется инвариантным относительно , если .

Тривиальные инвариантные подпространства – это нулевое подпространство и всё .

Примеры:

1) , – вращение относительно некоторой прямой, проходящей через нуль. Инвариантные подпространства – ось вращения и любая плоскость, перпендикулярная оси вращения.

2) – плоскость, . инвариантные подпространства – вектора, параллельные прямой.

3) – многочлены степени . Множество многочленов степени , – инвариантное подпространство относительно дифференцирования.

4) Пусть в матрица линейного преобразования имеет вид

в базисе . Тогда – инвариантное подпространство. Если , то – тоже инвариантное подпространство.

Теорема 2. Сумма и пересечение инвариантных подпространств относительно оператора являются инвариантными подпространствами.

Доказательство: Пусть и – инвариантные подпространства относительно , т.е. если и . Рассмотрим . Пусть если пересечению, то и принадлежит пересечению.

Рассмотрим теперь , имеем , где и , сумма инвариантных подпространств – инвариантное подпространство.

Выясним, какой вид принимает матрица линейного оператора в , если и базис в состоит из базиса в и базиса в . Т.к. и – инвариантные подпространства, то .

Получилась квазидиагональная матрица, т.е. состоит из клеток, стоящих на главной диагонали, и – матрицы оператора в подпространствах и соответственно. ■

6°. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

Далее особо будем рассматривать одномерные инвариантные подпространства.

Пусть – одномерное инвариантное подпространство, порождаемое вектором , т.е. .

Определение12. Вектор , удовлетворяющий условию

(3)

называется собственным вектором, а соответствующее число – собственным числом (характеристическим числом) линейного оператора .

Итак, если – собственный вектор, то образуют одномерное инвариантное подпространство и обратно, все векторы одномерного инвариантного подпространства являются собственными.

Теорема 3. В комплексном линейном пространстве всякое линейное преобразование имеет хотя бы один собственный вектор.

Доказательство: Пусть – базис в , т.е. . Пусть матрица линейного оператора в базисе имеет вид: . Условием того, что – собственный вектор имеет вид:

. (4)

Таким образом, задача построения собственных чисел и собственных векторов сводится к решению системы (4). Эта система однородных уравнений, она имеет нетривиальное решение , если ее определитель равен нулю, т.е.

(5)

или кратко

. (5’)

Это уравнение степени относительно . Оно имеет хотя бы один (комплексный) корень . Подставляя в (4) вместо найденное , получим однородную систему с определителем равным нулю она имеет ненулевое решение – собственный вектор, а – собственное значение. ■

Многочлен, стоящий в левой части (5), называется характеристическим многочленом матрицы , само уравнение (5) – характеристическим уравнением матрицы . В процессе доказательства было показано, что корни характеристического многочлена – собственные значения и обратно, собственные значения преобразования – корни характеристического многочлена.

Таким образом, собственные значения преобразования определяются независимо от базиса, то должно быть, что корни характеристического многочлена не зависят от базиса. Далее будет показано, что, более того, сам характеристический многочлен не зависит от базиса. Потому говорят о характеристическом многочлене преобразования (а не о характеристическом многочлене матрицы ).

Замечание. Если рассматривать вещественные числа и вещественные линейные пространства, то решений уравнения (5) может не быть

Пример.

, , , .

Пример. , .