Многочлены

1°. Все собственные векторы, принадлежащие одному и тому же собственному значению, вместе с нулевым вектором образуют линейное подпространство. Действительно, они получены как решения СЛОУ образуют линейное подпространство.

2°. Теорема 4. Если собственные векторы , принадлежат попарно различным собственным значениям, то они линейно независимы.

Доказательство. (Методом математической индукции). – очевидно. Пусть верно для . Докажем для . Предположим противное. Пусть :

(6)

Пусть . Подействуем на это равенство. Имеем, . Умножив (6) на , вычитая из последнего равенства, имеем . Т.е., получили, что вектор линейно зависимы. Получили противоречие. ■

3°. Если и – матрицы линейного преобразования в различных базисах, то характеристические многочлены этих матриц совпадают. Действительно, .

Выпишем вид характеристического многочлена: , где – след матрицы .

4°. Известно, что у характеристического многочлена могут быть простые корни, т.е. кратности 1, а могут быть кратные корни.

Теорема 4. Пусть – корень характеристического многочлена кратности . Тогда, ему соответствует не более линейно независимых собственных векторов.

Доказательство: Пусть имеется линейно независимых собственных векторов, соответствующих : . Дополним их до базиса в : . В этом базисе матрица имеет вид , где – матрица размера . Составим матрицу и вычислим для нее определитель. Раскладывая его по первым столбцам, получаем: . По определению кратности, . ■

Замечание. Характеристическому значению кратности могут соответствовать меньше, чем линейно независимых собственных векторов: например, , . Один независимый собственный вектор.

5°. Линейное преобразование имеет собственное значение равное нулю оно не является взаимно однозначным.

Доказательство: . Если и обратно. ■

7°. О приведении матрицы преобразования к диагональному виду.

Утверждение 8. Матрица линейного преобразования в базисе имеет диагональный вид все векторы базиса – собственные векторы преобразования.

Доказательство: Действительно, если – собственный, то –ый элемент столбца , равен , а остальные равны нулю. Обратно, аналогично. ■

Утверждение 9. Если преобразование имеет n попарно различных собственных значений, то существует базис из собственных векторов этого преобразования.

Доказательство: Следует из теоремы 4.

Может оказаться, что собственное значение имеет кратность , но не существует линейно независимых собственных векторов.

Многочлены

1^о. Эвристические соображения.

В школьном курсе многочленом (полиномом) от одной переменной с коэффициентами из R называется выражение вида

Здесь под понимается некоторый символ, который может принимать любые значения из R.

В дальнейшем будем рассматривать многочлены как формальные выражения. Более того, для удобства формальной записи алгебраических операций многочлены желательно рассматривать как сумму бесконечного числа слагаемых вида с конечным числом отличных от нуля слагаемых: Тогда формулы для суммы и произведения многочленов примут вид:

;

где .

2^o. Точные определения.

Определение 1. Многочленом одной переменной с коэффициентами из множества комплексных чисел С называется бесконечная последовательность , в которой лишь конечное число элементов не равно нулю.

Множество многочленов с коэффициентами из С обозначается . Аналогично вводится множество многочленов с коэффициентами из . Далее утверждения формулируются для многочленов из , и, если не оговорено специально, они справедливы для многочленов из .

Введем операции сложения и умножения многочленов. Пусть . Тогда

, , где .

Очевидно, что и имеют лишь конечное число ненулевых элементов, то есть являются многочленами. При этом, если имеет , а ненулевых элементов, то – не более чем , а – не более чем ненулевых элементов.

Теорема 1. Операции сложения и умножения многочленов удовлетворяют следующим свойствам:

1) ассоциативность сложения и умножения многочленов, т.е. выполняются равенства ;

2) коммутативность сложения и умножения многочленов, т.е. выполняются равенства ;

3) дистрибутивность умножения относительно сложения, т.е. выполняется ;

4) для многочлена вида и выполняется ;

5) для многочлена вида и выполняется .

Доказательство. Проверим ассоциативность умножения. Пусть

Необходимо доказать, что . Имеем:

, где .

Тогда

где

, где ,

то есть ассоциативность умножения выполняется в силу ассоциативности умножения в .

Проверим дистрибутивность, то есть выполнение равенства

Имеем где ;

где .

Проверим коммутативность умножения. Имеем

, где и

, где

в силу коммутативности умножения в С.

Аналогично проверяются остальные свойства. ■

Рассмотрим . Очевидно, что

Следовательно, множество С' можно отождествить с С (то есть построить взаимно однозначное соответствие между этими множествами, так что ставится в соответствие .)

Обозначим (так как ).

Утверждение 1.Пусть . Тогда .

Доказательство. Так как , то легко видеть, что . Тогда

, и, значит

■

Терминология. Пусть . Тогда называется свободным членом многочлена. Если , то называется степенью многочлена. Пишут (degree), – старший коэффициент , , – переменная.