Квадратичные формы

1°. Определение. Теорема о поляризации.

Определение 1. Пусть – симметрическая билинейная форма. Функция , которая получается из , если положить , называется квадратичной формой.

называется билинейной формой, полярной к квадратичной форме . Из симметричности Þ

Теорема 1. Полярная форма однозначно определяется своей квадратичной формой .

Доказательство. Из определения билинейной формы следует

Справа стоят квадратичные формы Þ билинейная форма определяется своей квадратичной формой. ■

Матрица симметричной билинейной формы называется матрицей, соответствующей квадратичной форме . Так как

в данном фиксированном базисе, где , то всякая квадратичная форма при заданном базисе выражается формулой:

, (1)

или в матричном виде,

. (1¢)

Правая часть (1) – однородный многочлен второй степени относительно .Он содержит подобные члены в силу Þ после приведения подобных, имеем

.

Еще два важных определения.

Определение 2. Квадратичная форма называется

1) положительно (отрицательно) определенной, если

(такие формы называются знакоопределенными);

2) знакопеременной, если

.

3) квазизнакоопределенной, если или , но .

Далее будут указаны признаки, по которым форму можно отнести к каждому из классов.

Пример: – положительно определенная.

Определение 3. Ранг матрицы квадратичной формы называется рангом квадратичной формы.

Если , то форма называется невырожденной, если – то вырожденной.

Далее нам понадобятся следующие две леммы о рангах матрицы.

Пусть и .

Лемма 1. Ранг произведения матриц не больше ранга любого из сомножителей, т.е.

, (2)

. (3)

Доказательство. Докажем равенство (3). В начале тривиальные случаи:

1) если , то – нулевая – нулевая , т.е. (3) доказано.

2) если (число столбцов), то также очевидно, так как – число столбцов в .

Далее пусть и . Тогда имеет базисных столбцов и хотя бы один столбец не принадлежащий этой системе. Пусть базисных столбцов – это первые столбцы. Тогда –ый столбец, , выражается через них по теореме о базисном миноре:

, т.е. .

По определению произведения матриц имеем: . Тогда , т.е. в матрице столбец с номером , также выражается через ее первые столбцов:

.

Значит, ранг столбцов матрицы не больше , т.е. , т.е. (3) доказано.

Для доказательства (2) перейдем к транспонированным матрицам: . ■

Замечание: Из Леммы 1 не следует, что первые столбцов матрицы линейно независимы.

Лемма 2. Пусть и – невырожденные. Тогда не изменяется при умножении на и на , т.е.

.

Доказательство. Пусть (по Лемме 1). Но ч.т.д. ■

2°. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Очевидно, что выражение (1) квадратичной формы через координаты вектора зависит от выбора базиса в линейном пространстве. Оказывается, выбирая базис определенным образом, можно привести квадратичную форму к некоторому простейшему виду, а именно, справедлива

Теорема 1. Для каждой квадратичной формы базис, в котором

, (4)

т.е. матрица квадратичной формы является диагональной.

Доказательство. По индукции по числу переменных.

1) При в произвольном базисе квадратичная форма имеет диагональный вид.

2) Пусть утверждение справедливо для квадратичной формы от переменной и докажем для переменных. Пусть в произвольном базисе

.

Если все , то матрица диагональная. Далее будем рассматривать случай, когда хотя бы одно .

Рассмотрим два случая.

1) Все . Тогда перенумерованием переменных можно добиться, что , т.е. имеется слагаемое . Заменим координаты по формуле:

.

Этой замене соответствует матрица , причём с определитель не равен 0. Т.е. это матрица – матрица перехода к новому базису.

При этой замене член перейдет в и, так как по предположению, , то он ни с чем не может сократиться, и значит коэффициент при не равен 0.

Таким образом, при необходимости делая перенумерование, всегда можем рассматривать случай:

2) . Тогда в квадратичной форме выделим все члены, содержащие :

:

Дополним эту сумму до полного квадрата:

,

где через обозначены члены, содержащие лишь квадраты и попарные произведения членов . Подстановка этого выражения в (1) дает

,

где – квадратичная форма от переменной .

Согласно предположению индукции, замена переменных

,

согласно которой приводится к виду

.

Положим , и получим для диагональный вид. Последняя замена имеет матрицу и .

Обратная к ней матрица является матрицей перехода к искомому базису. ▄

Замечание 1: Способ приведения квадратичной формы к диагональному виду, данный в доказательстве, называется методом выделения квадратов.

Пример:

.

Определение 4. Диагональный вид квадратичной формы в вещественном пространстве называется каноническим, если коэффициенты .

В комплексном пространстве вид канонический, если .

Базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, называется каноническим. Он, обычно, определен неоднозначно.

Следствие (к Теореме 1). Для каждой квадратичной формы базис, в котором она имеет канонический вид.

Доказательство. Вначале приведем квадратичную форму к диагональному виду, а затем, если , то остаётся без изменения, если , то замена .

Очевидно, что после этого получается канонический вид и эта замена невырожденная. ■

Замечание 2 (о ранге квадратичной формы). После приведения квадратичной формы к диагональному виду переменные перенумеровывают так, что первые переменных имеют ненулевые (первые слагаемых имеют коэффициент 1, остальные (–1)) и далее 0:

.

Ясно, что . Очевидно, что в силу Леммы 1и 2, при переходе к новому базису ранг не меняется и значит, т.к. он для канонического вида равен , то и в другом базисе равен . Более того, при любом приведении к каноническому виду число отличных от нуля канонических коэффициентов одно и то же и равно рангу квадратичной формы.

3°. Метод Якоби приведения к каноническому виду.

Дает формулы, выражающие искомый канонический базис через исходный .

Теорема 3. Пусть в базисе квадратичная форма имеет вид , . Пусть определители

.

(5)

Тогда существует базис , в котором записывается в виде суммы квадратов следующим образом , где и – координата вектора в базисе .

Дающийся в теореме способ приведения квадратичной формы к сумме квадратов называется методом Якоби.

Доказательство: Необходимо определить новый базис так, что при . Будем искать в виде

(6)

Коэффициенты можно было бы найти из условия при . Однако это привело бы к решению уравнений второго порядка на . Поступим иначе.

Если , для , то , для . Действительно, подставляя вместо выражение , получаем если , и , то в силу симметрии билинейных форм . Т. о., задача свелась к следующей: определить так, что удовлетворяли условиям

, для .

(7)

Этими условиями определяются с точностью до постоянного множителя. Зафиксируем этот множитель условием

.

(8)

Сейчас увидим, что требования (7), (8) определяют вектор однозначно. Действительно, подставляя в (7), (8) выражение для , имеем:

.

(9)

По условию (5) определитель этой системы линейных уравнений отличен от нуля по теореме Крамера решение $!.

Теперь найдем коэффициенты квадратичной формы в базисе . Так как , то по построению при .

Вычислим |в силу (7), (8)|= . По правилу Крамера, из (9) , что и требовалось доказать. ■

Замечание. Приведенный выбор базиса не единственный.

Пример. Привести к диагональному виду форму , данную в базисе

Здесь

, и , т.е. не обращаются в нуль миноры из условия теоремы. Пусть

В силу теоремы о поляризации соответствующая билинейная форма имеет вид

из . Для и имеем уравнения и .

Наконец, для , и имеем систему уравнений:

т.е. , , , , , т.е. .

В этом базисе квадратичная форма имеет вид .

4°. Закон инерции квадратичных форм.

Как было показано ранее, число отличных от нуля коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы не зависит от вида преобразования, с помощью которого приводится к каноническому виду. В действительности, не меняется число положительных и отрицательных коэффициентов. Это свойство называется законом инерции квадратичных форм. А именно справедливо утверждение.

Теорема 4(закон инерции квадратичных форм). Число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами в каноническом виде квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду.

Доказательство. Пусть форма с помощью некоторого преобразования координат приводится к виду

,

а с помощью другого преобразования того же вида – к

.

Для доказательства теоремы надо показать, что .

От противного. Предположим, что . Покажем, что в этом случае существует ненулевой вектор : в новых координатах и , координаты и равны нулю, т.е.

Каждое из этих уравнений имеет вид:

,

.

с известными . Так как уравнений меньше, чем эти уравнения имеют ненулевое решение в силу равенства в новых переменных , т.е. – нулевой вектор, что противоречит тому, что – ненулевой предположение – неверно . В силу симметричности законов приведения – неверно . Что и требовалось доказать. ■

5°. Классификация квадратичных форм.

Определение 5. Индексом инерции квадратичной формы называется число отличных от нуля коэффициентов канонического вида (т.е. ранг формы), положительным (отрицательным) индексом – число положительных (отрицательных) коэффициентов.

Очевидно, что сумма положительных и отрицательных индексов инерции равна индексу инерции.

Обозначим – индекс инерции, положительный и отрицательный индексы соответственно, . Тогда квадратичная форма может быть приведена к виду в некотором базисе .

Утверждение 3: Для того, чтобы квадратичная форма , заданная в –мерном пространстве , была знакоопределенной, необходимо и достаточно, чтобы, либо , либо . Если , то форма положительно определена, если – отрицательно определена.

Доказательство: приведем для положительно определенной.

– положительно определена приводится к виду , если , то $ , .

Пусть и для – положительно определена.

Утверждение 4: Форма – знакопеременная и положительный и отрицательный индексы отличны от нуля.

Доказательство: квадратичная форма принимает и положительные и отрицательные значения в каноническом виде должны быть как положительные, так и отрицательные выражения

.

(10)

Если справедливо (10), то для , , а для , (10) – канонический вид знакопеременной формы.

Утверждение 5: Для того, чтобы была квазизнакоопределенной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения либо , , либо , .

Доказательство: Аналогично п. 4

6°. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы.

(позволяет исследовать без приведения к каноническому виду)

Пусть – квадратичная форма и – угловые миноры.

Теорема 5 (критерий Сильвестра). Для того, чтобы квадратичная форма была положительно определена, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены неравенства .

Для того чтобы, форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров чередовались, причем D₁<0

Доказательство: Докажем в начале, что из условия знакоопределенности следует, что

Ä пусть . Рассмотрим систему ЛОУ

, то определитель система имеет нетривиальное решение. Пусть – такое решение. Умножая первое уравнение на –е на и складывая, получим : =0, т.е. получили, что квадратичная форма на ненулевом векторе обращается в нуль. Это противоречит знакоопределенности , . Поэтому можно применить теорему Якоби (теорема 3) и воспользоваться формулой для коэффициентов . Если – положительно определена, то все , так как , .

Если – отрицательно определенная форма, то , т.е. знаки угловых миноров чередуются.

Пусть выполнены условия, что , можно воспользоваться методом Якоби форма положительно определена.

Если знаки чередуются и , то форма отрицательно определена. Что и требовалось доказать. ■

Замечание:Отрицательный индекс инерции равен числу перемен знаков в последовательности определителей .