Нормальный закон распределения случайной величины

Нормальное распределение случайной величины является следствием воздействия на эту величину большого числа равнозначных факторов. В теории надежности оноиспользуется для расчета показателей надежности изделий в период постепенных отказов из-за износа и старения.

Рис. 1.2. Плотность нормального распределения.

Плотность распределения величины Т при ее нормальном распределении выражается соотношением:

где s, M_t – среднее квадратическое отклонение и математическое ожидание величины Т соответственно. Случайной величиной Т, рассматриваемой в теории надежности обычно является наработка до отказа или несущая способность.

Функция распределения величины Т при ее нормальном распределении имеет вид:

Вычисление f(t), F(t) осуществляют с помощью таблиц, в которых приводятся значения соответственно f₀(x) и F₀(x) для нормированного нормального распределения. Нормированное нормальное распределение – это нормальное распределение, при котором s=1; М=0. Поэтому формулы для плотности распределения и функции распределения имеют в этом случае следующий вид:.

Если в этих формулах сделать подстановку x=(t–M_t)/s, то тогда F₀(x)=F(t),а f₀(x)/s=f(t). Поэтому для определения f(t), F(t)по таблицам сначала необходимо определить значение х (это значение называется квантилью нормированного нормального распределения) по формуле x=(t–M_t)/s, затем по соответствующим таблицам определяются f₀(x)и F₀(x). Значения F(t), f(t)вычисляются по формулам F(t)=F₀(x)и f(t) = f₀(x)/s. Значения F₀(x) и f₀(x)в таблицах приводятся для х³0. Для х<0 F₀(x) и f₀(x) определяются по формулам F₀(–x)=1–F₀(x); f₀(–x)=f₀(x).

Распределение суммы независимых случайных величин U=X+Y+Z, называемое композицией распределений, при нормальном распределении слагаемых также является нормальным распределением.

Математическое ожидание и дисперсия для композиции соответственно равны:

M_u=M_x+M_y+M_z; D_u=D_x+ D_y+D_z ,

где M_x, M_y, M_z – математические ожидания случайных величин X, Y, Z; D_x; D_y; D_z – дисперсии тех же величин.