Многоканальная СМО с ожиданием

Многоканальная СМО с отказами

В большинстве случаев реальные СМО являются многоканальными, то есть,n> 1. Очевидно, что в такой СМО параллельно может обслуживаться не более n заявок. При экспоненциальном законе обслуживания заявок средняя продолжительность обслуживания заявки равна 1/μ. Конечная цель использования многоканальных СМО - увеличение скорости обслуживания за счет одновременного (параллельного) обслуживания n заявок. Граф состояний многоканальной СМО с отказами представлен на рис. 5.3.

Рис. 5.3. Граф состояний многоканальной СМО с отказами

Примечание. Обозначения на рис. 5.3:

S₀ - все каналы свободны;

S₁ - занят один канал, остальные свободны;

…

S_k - заняты ровноk каналов, остальные свободны;

…

S_n - заняты все n каналов, заявка получает отказ в обслуживании.

Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний системы P₀,…,P_k,…,P_n будут иметь следующий вид:

/ dP₀ /dt= -λ∙P₀+μ∙P₁;

…

| dP_k /dt=λ∙P_k-1- (λ+k∙μ)∙P_k+μ∙(k+1)∙P_k+1, 1 ≤k≤n- 1;

…

\ dP_n / dt=λ∙P_n-1- μ∙n∙P_n.

Обычно начальные условия решения этой системы дифференциальных уравнений имеют вид:

P₀(0) = 1;P₁(0) =P₂(0) = … =P_k(0) = … =P_n(0) = 0.

Обозначив через ρ=λ/μ, для стационарного режима функционирования СМО получим следующее решение:

_n

P₀= 1 / [ ∑ (ρ^k /k!)], k= 0, 1, 2,…,n;

^{k = 0}

_n

P_k= (ρ^k /k!) / [ ∑ (ρ^k /k!)] = (ρ^k /k!)∙P₀, k= 0, 1, 2,…,n.

^{k = 0}

Примечание. Формулы для вычисления вероятностей P_k принято называть формулами Эрланга.

Остальные характеристики многоканальной СМО с отказами (функционирующей в стационарном режиме!) рассчитываются по следующим формулам:

· вероятность отказа в обслуживании заявки

P_отк=P_n= (ρⁿ/n!)∙P₀;

· вероятность того, что заявка будет принята к обслуживаниюq

q= 1 -P_отк;

· абсолютная пропускная способность СМО

A= λ∙q=λ∙(1 -P_отк);

· среднее число каналов, занятых обслуживанием (характеризующее степень загрузки СМО)

_n

k_ср=∑ k∙P_k=ρ∙(1 -P_отк).

^{k = 1}

Пусть многоканальная СМО с ожиданием характеризуется следующим:

· входной и выходной потоки являются пуассоновскими с интенсивностями, соответственно, λиμ;

· параллельно обслуживаться могут не более C заявок;

· СМО имеет C каналов обслуживания;

· средняя продолжительность обслуживания заявки равна 1 / μ;

· СМО функционирует в установившемся (стационарном) режиме;

· заявки допускают ожидание обслуживания в неограниченной очереди.

Для перечисленных условий многоканальная СМО с неограниченной очередью может быть представлена моделью в виде следующей системы алгебраических уравнений:

0 = λ∙P_n-1- (λ+n∙μ)∙P_n+ (n + 1)∙μ∙P_n+1,при1 ≤n<C;

0 = λ∙P_n-1- (λ+C∙μ)∙P_n+C∙μ∙P_n+1, при n≥C.

Обозначив через ρ=λ/μ, получим решение этой системы уравнений:

_C-1

P₀= 1 / {∑(ρⁿ / n!) + {ρ^C/ {C!∙[1 - (ρ/C)]}};

^{n = 0}

P_n= (ρⁿ / n!)∙P₀,если0 ≤n<C;

P_n = [ρⁿ / (C!∙C^n-c)]∙P₀,еслиn ≥C.(5.1)

Примечание. Полученное решение будет действительным, если выполняется следующее условие:

λ/ (μ∙C) < 1.

Остальные характеристики многоканальной СМО с ожиданием рассчитываются по следующим формулам:

· среднее число заявок в очереди на обслуживание

L_q= {(C∙ρ) / [(C-ρ)²]}∙P_c;

· среднее число заявок, находящихся в СМО (как на обслуживании, так и в очереди)

L_S=L_q+ ρ;

· средняя продолжительность пребывания заявки в очереди

W_q=L_q / λ;

· средняя продолжительность пребывания заявки в СМО (как на обслуживании, так и в очереди)

W_S=W_q+ 1 / μ.