Одноканальная СМО с ожиданием

Одноканальная СМО с отказами в обслуживании

Простейшая модель СМО может быть сформирована для следующих условий:

· в СМО один канал обслуживания;

· заявка, поступившая в момент, когда канал занят, покидает СМО необслуженной;

· длительность интервалов между поступающими заявками имеет экспоненциальное распределение (поток заявок - простейший);

· время обслуживания заявки имеет экспоненциальное распределение (поток обслуживаний - простейший).

Для этого случая граф состояний СМО представлен на рис. 5.1.

Рис. 5.1. Граф состояний простейшей СМО с отказами

Примечание. Обозначение на рис. 5.1:

S₀ - канал свободен (ожидание прихода заявки);

S₁ - канал занят (идет обслуживание заявки и если приходит еще одна заявка, то СМО отказывает ей в обслуживании).

Обозначим вероятности событий:

P₀(t) - вероятность состояния "канал свободен";

P₁(t) - вероятность состояния "канал занят".

По размеченному графу состояний (рис. 5.1) составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний:

dP₀(t) /dt= -λ∙P₀(t) +μ∙P₁(t);

dP₁(t) /dt= -μ∙P₁(t) +λ∙P₀(t).

С учетом нормировочного условия P₀(t) +P₁(t) = 1 и с учетом экспоненциального характера потока заявок и потока обслуживаний решение имеет следующий вид:

P₀(t) = [λ/ (λ+μ)]∙ e^{-( λ + μ) ∙ t}+[μ/ (λ+μ)];

P₁(t) = 1 -P₀(t).

Очевидно, что для одноканальной СМО с отказами P₀(t) - не что иное, как относительная пропускная способность СМО q.

В установившемся (стационарном) режиме функционирования (при t → ∞) решение по простейшей СМО еще более упроститься:

q=P₀= μ/ (λ+μ).

Абсолютная пропускная способность A (среднее число заявок, которое может обслужить СМО в единицу времени) определяется из выражения

A=λ∙q= (λ∙μ) / (λ+μ).

Вероятность отказа в обслуживании заявки (или средняя доля необслуженных заявок среди поданных) определяется из выражений

P_отк.=P₁= 1 - P₀= 1 - [μ / (λ+μ)].

Сформируем модель СМО для условий:

· имеется один канала обслуживания;

· поток заявок - простейший, с интенсивностью λ;

· поток обслуживаний - простейший с интенсивностью μ;

· длительность обслуживания заявки - случайная величина, подчиненная экспоненциальному распределению;

· заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания. Однако длина очереди ограничена и не может превысить N-1 заявок. При достижении лимита длины очереди вновь поступающие заявки покидают СМО необслуженными.

Граф состояний такой СМО представлен на рис. 5.2 и представляет собой схему «гибели и размножения».

Рис. 5.2. Граф состояний одноканальной СМО с ожиданием

Примечание. Обозначения на рис. 5.2:

S₀ - "канал свободен";

S₁ - "канал занят" (очереди нет);

S₂ - "канал занят" (одна заявка в очереди);

…

S_n - "канал занят" (N -1 заявок стоит в очереди);

…

S_N - "канал занят" (N -1 заявок стоит в очереди).

Введя обозначение ρ = λ / μи понимая под n - номер состояния, стационарный процесс в этой СМО можем описать следующей системой алгебраических уравнений:

-ρ∙P₀+P₁= 0,дляn= 0;

…

-(1 -ρ)∙P_n+P_n+1+ρ∙P_n-1 = 0, для 0 <n<N;

…

-P_N+ρ∙P_N-1= 0,для n=N.

Откуда получаются решения для рассматриваемой модели СМО:

P₀= (1 - ρ) / (1 - ρ^N+1);

P₀∙ρⁿ, еслиρ ≠1,n= 1, 2,…, N;

P_n=1 / (N+ 1), если ρ= 1.

· вероятность отказа в обслуживании заявки:

[(1 - ρ) / (1 - ρ^N+1)]∙ρ^N,еслиρ ≠1;

P_отк=P_N= 1 / (N+ 1), если ρ= 1.

· относительная пропускная способность СМО:

q= 1 -P_отк.

· абсолютная пропускная способность СМО:

A=q∙λ.

· среднее число заявок, находящихся в СМО:

_N{ρ∙[1 - (N+ 1)∙ρ^N+N∙ρ^N+1]} / [(1 -ρ)∙(1 -ρ^N+1)],если ρ ≠1;

L_S =∑n∙P_n =

^{n = 0} N/ 2,еслиρ= 1.

· среднее время пребывания заявки в СМО:

W_S=L_S / [λ·(1 -P_N)].

· средняя продолжительность пребывания заявки в очереди:

W_q=W_S- (1 / μ).

· среднее число заявок в очереди (длина очереди):

L_q = λ·(1 - P_N)·W_q.