Интервальная оценка при экспоненциальном распределении
Пусть при n опытах получен ряд значений x1, x2,...,xi,...,xn, тогда оценка среднего значения показателяX' может быть определена по формуле
n
Х' = (1 /n) · У xi.
i=1
Тогда нижняя доверительная граница показателя определяется по формуле
Xн = r3 ·X',
а верхняя доверительная граница показателя определяется по формуле
Xв= r1· X',
где: коэффициенты доверительных границ r1 и r3 определяются из таблиц 2, 3, 4 (при заданном числе опытов n и заданной доверительной вероятностиP. Обычно задаются значением Р = 0.9...0.95).
Окончательная запись интервальной оценки показателя Х имеет вид:
Х = Хн...Хв.
Интервальная оценка при неизвестном (статистическом, эмпирическом) распределении обычно формируется с использованием t-критерия Стьюдента. Порядок формирования такой оценки:
1. По имеющемуся вариационному ряду точечных значений оценки определяются статистические характеристики:
· среднее значение X' - по формуле среднего арифметического
n
Х' = (1 /n) · У xi.
i=1
· дисперсия оценки D по стандартной формуле
n
D = [1 / (n - 1)] · У (xi- X')2,
i=1
2. Для рассматриваемой ситуации определяется табличное (теоретическое) значениеt-критерия Стьюдента tт, для чего:
· задаются значением доверительной вероятности P (обычно из диапазона 0.9...0.99);
· рассчитывают значение степени свободы рассматриваемой ситуации k по формуле
k = n - 2
· используя в качестве "входных" значения k и P по таблице квантилейt-распределения Стьюдента (таблица 5) определяют искомое значение tт.
3. Определяют численное значение поправки J по формуле
J = tт · [D/ (n- 1)]0.5
4. Формируют искомую интервальную оценку по формуле
X= X'±J.
Событие - это факт, который может произойти в данных условиях. Различают достоверное, невозможное и случайное события. .
Достоверным - называется такое событие, которое наступает каждый раз при наличии данных условий. Достоверное событие обозначается символом U.
Невозможным - называется такое событие, которое никогда не наступает при наличии данных условий. Невозможное событие обозначается символом Ø.
Случайным - называется такое событие, которое может наступить или не наступить при наличии данных условий. Случайные события обозначаются символами A, B, C,…Количественно события характеризуют частота и вероятность события.
Частотой события - называют отношение числа испытаний, в которых появилось данное событие, к общему числу испытаний, то есть:
P·(A) =m(A) / n,
где: n - общее число проведенных испытаний;
m(A) - число испытаний, в которых появилось событие A.
Вероятностью события - называют степень возможности появления события в данных условиях. Частота и вероятность связаны между собой. При большом числе испытаний они примерно равны друг другу, то есть:
P(A) ≈P*(A).
Величины. Случайные события могут быть представлены через случайные величины (переменные).
Случайной - называют величину, которая в результате испытаний может принять то или иное числовое значение, причем до испытания неизвестно, какое именно. Случайные величины подразделяются на дискретные и непрерывные.
Множество значений дискретной случайной величины конечно (или иначе - счетно), например, - количество отказов АТ за летную смену.
Множество значений непрерывной случайной величины представляет собой бесконечное множество всех точек, принадлежащих какому либо интервалу, например, - время безотказной работы авиадвигателя.
Для количественной оценки случайной величины недостаточно задать множество значений, которые она может принимать. Необходимо еще знать, с какой вероятностью она принимает эти значения. Ответ на эти вопросы содержится в такой характеристике случайной величины, как закон ее распределения.
Закон распределения- представляет собой соотношение, позволяющее определить вероятность появления случайной величины в любом интервале. Основными формами закона распределения являются: ряд распределения pi(x), функция распределения F(x), плотность распределения f(x).
Ряд распределения - представляет собой таблицу (таблица 2.1), в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности, например:
Таблица 2.1
x1
…
xi
…
xn
p1
…
pi
…
pn
Очевидно, что для нижней строки таблицы 2.1 должно выполняться условие:
n
∑pi= 1.
i=1
Иногда вместо вероятности в нижней строке таблицы 2.1 указывают не вероятность pi, а соответствующие частоты mi. В таком случае ряд распределения называют эмпирическим (статистическим) рядом распределения.Часто ряды распределений называютвариационными рядами.
Функция распределения случайной величины X называется функция аргумента x, равная вероятности того, что случайная величина X примет любое значение, меньшее x,то есть:
F(x) =P(X<x).
Функция распределения это неубывающая функция, изменяющаяся от нуля до единицы. Для дискретной случайной величины
F(x) =∑ p(xi),
xi<x
(здесь суммирование распространяется на значения xi, которые меньше x).
Плотность распределения. Поскольку для непрерывной случайной величины нельзя использовать вероятность появления ее отдельных значений, то определяют вероятность появления случайной величины в пределах малого интервала [x,x+∆x), примыкающего к x. Разделив эту вероятность на длину интервала ∆x, находят плотность распределения f(x)
f(x) =lim{[P(x≤X<x+∆x)] /∆x}.
∆x ® 0
Таким образом, плотность распределения f(x) - это предел отношения вероятности попадания случайной величины на малый участок к длине этого участка.
Функция распределения случайной величины может быть определена через плотность распределения по формуле:
x
F(x) =∫ f(x)∙dx.
-∞
Величину F(x) часто называют интегральной функцией распределения случайной величины X, а величину f(x) - дифференциальной функцией распределения случайной величины X.
Для исчерпывающей оценки тех или иных законов распределения случайных величин используют числовые характеристики рассмотренных выше величин.
