Уравнения динамики САУ

В общем виде линеаризованное дифференциальное уравнение одномерного элемента можно представить в виде (2.1):

(2.1)

, где y(t), x(t), f(t) - выходная, входная и возмущающее величины элемента или системы (в отклонения от состояния равновесия);a_i, b_i, c_i - постоянные коэффициенты;
n - порядок уравнения, при этом n≥m - условие физической реализуемости элемента.
Введем оператор дифференцирования . Тогда уравнение (2.1) может быть представлено в операторном виде при нулевых начальных условиях:

(2.2)

В выражении (2.2) полином, стоящий при выходном параметре Y, называется собственным оператором и обозначается D(p). Полиномы при воз-действиях Х и F называются соответственно оператором управляющего воздействия и оператором возмущающего воздействия. Оператор управляющего воздействия обозначим K(p), а оператор возмущающего воздействия обозначим R(p). С учётом введенных обозначений уравнение (2.2) примет вид:

Если рассматривается только установившейся режим, то уравнение (2.2) примет вид: a_ny=b_mx+c_kf. (2.3)
Таким образом, уравнение (2.2) описывает как динамику, так и статику САР, а уравнение (2.3) описывает только статику.
Следует отметить, что используемый ваше оператор дифференцирования p имеет тесную связь с оператором интегрального преобразования Лапласа s, который является комплексной величиной. Как известно, для ли-нейных дифференциальных уравнений с постоянными параметрами при нулевых начальных условиях и точностью до обозначения оператор p соответствует оператору s, т.е. p=s.
Это обстоятельство позволяет использовать для решения уравнений типа (2.2), а также для моделирования САР интегральное преобразование Лапласа. Для перехода от реальных функций времени - оригиналов к их изображениям по Лапласу и обратно применяется прямое и обратное интегральные преобразования вида:
,

При этом x(t) называют оригиналом, а X(p) - изображением. Полагают, что функция x(t) обладает следующими свойствами:
- x(t) определена и кусочно - дифференцируема на всей положительной числовой полуоси (0- );
- x(t)=0 при t<0;
-существуют такие положительные числа M и С, при которых выполняется соотношение:

Для удобства и формализации решений уравнение (2.1) может быть пред-ставлено в одной из пяти стандартных форм:
1. в форме Коши;
2. в пространстве состояний;
3. в виде передаточных функций - W(p), Φ(p), Φ_ε(p).
4. решение относительно регулируемой величины - y(t);
5. решение относительно ошибки - Δ(t);
Форма Коши - матричная форма записи системы дифференциальных уравнений (ДУ), решенных исключительно относительно первой производной координат САУ.
Пространство состояний - матричная форма записи системы ДУ САУ, адаптированная для теории управления путем выделения из формы Коши алгебраических уравнений, связывающих внутренние координаты САУ с выходной(ыми). Применяется для описания САУ большого порядка, как правило, с несколькими входами / выходами и с перекрестными связями.
Под состоянием системы понимается минимально-необходимый набор переменных величин системы x₁,x₂,...,x_n, способных однозначно и единственным образом определить положение системы в любой момент времени t. Совокупность переменных величин x₁,x₂,...,x_n образует n-мерное пространство состояний Rⁿ. Вектор с компонентами x₁,x₂,...,x_n называется вектором состояния. Рассмотрим систему (рис.2.4) с m входами (u₁,u₂,...,u_m), r выходами (y₁,y₂,...,y_r) и n переменными координатами (x₁,x₂,...,x_n).

В общем случае обыкновенных линейных систем, описываемых системой дифференциальных уравнений в нормальной форме, рассматриваемая система может быть представленаа следующей векторно-матричной формой:

(2.4)

где X - вектор состояния системы, Y - вектор выходных управляемых величин, U - вектор входных воздействий (задающих и возмущающих); А, В, С, D - матрицы системы.
Уравнения (2.4) несут большой объем информации о динамических свойствах системы с m входами и r выходами при t₀≤t≤T. Первое уравнение из (2.4) определяет динамические характеристики системы и представляет собой компактную запись системы n линейных дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных первого порядка (нормальная форма Коши):

при i=1,2, ... ,n, (2.5)

где a_ij и b_ij- постоянные коэффициенты.
Второе уравнение из (2.4) является уравнением выхода системы и представляет собой компактную запись системы r линейных алгебраических уравнений:

при i=1,2, ... ,r, (2.6)

где c_ij и d_ij - постоянные коэффициенты.
В стандартной форме описания (2.4)

- матрица системы; - матрица управления;

- матрица наблюдения; - матрица связи.

Матрица системы A, элементы которой определяются структурной схемой системы и значениями ее параметров, характеризует динамические свойства системы, ее свободное движение. Матрица управления B характеризует влияние внешних воздействий на переменные состояния системы, т.е. определяет чувствительность системы к внешним воздействиям (задающим и возмущающим). Матрица наблюдения C характеризует связь выходной величины системы с вектором состояния. Обычно не все составляющие вектора состояния являются наблюдаемыми сигналами, т.е. могут быть измерены с помощью каких-либо датчиков, в то время как выходной сигнал всегда наблюдаем. Матрица связи D устанавливает связь выходной величины системы с внешним воздействием. Таким образом, четверка матриц A, B, C, D полностью определяет систему управления.