Методика составления векторно-матричных дифференциальных уравнений

Матричные методы дают возможность обращаться с n уравнениями подобно тому, как это делается с одним уравнением. На рис.2.5 показана структурная схема системы управления, соответствующая стандартной форме описания систем в пространстве состояний; двойные линии на рисунке характеризуют векторные связи.

Рис. 2.5. Структурная схема системы в векторной форме:
S - блок интеграторов; A,B,C,D - блоки матричных усилителей

Таким образом, уравнения переменных состояния представляют собой наиболее полное математическое описание динамики системы с несколькими входами и выходами и позволяют легко перейти к модели реальной системы и получить решение с применением вычислительной техники. Рассмотрим методику составления векторно-матричных дифференциальных уравнений для систем с одним входом и одним выходом:
(2.7)
Выразим уравнение (2.7) относительно старшей степени р:
(2.8)
Входной сигнал у(t) можно получить путем последовательного интегрирования старшей производной pⁿy(t). Для этого потребуется n последовательно включенных интеграторов, сигналы на входах которых представляют собой производные от pⁿy(t) до рy(t) (рис.2.6).

Рис. 2.6

Согласно уравнению (2.8) очевидно, что старшая производная Sⁿy(t) равна переменной b_my(t) минус сумма выходных сигналов интеграторов, умноженных на коэффициенты а₁, а₂ ... а_n. Тогда получим структурную модель, представленную на рис. 2.7.

Рис.2.7. Модель САУ

Введем обозначения x₁(t)=y(t), x₂(t)=py(t)...x_n(t)=p^n-1>y(t)и уравнение n-го порядка (2.7) запишем в виде системы n дифференциальных уравнений первого порядка:

(2.9)

Система уравнений (2.9) является одной из форм представления динамических процессов структурной модели, изображенной на рис. 2.7.
В матричной форме система уравнений (2.9) имеет вид:

В сокращенном виде матричная форма записывается следующим образом: x'(t)=Ax(t)+B(t), где x(t)=[x₁(t),x₂(t),...,x_n(t)] n-мерный вектор состояния;
A - квадратная матрица размером n n; B - - вектор-столбец управления.
Ввиду того, что имеется множество эквивалентных (с точки зрения входо-выходных соотношений) способов представления уравнений состояния системы, можно выбрать из них "наилучшие" - наиболее удобные для использования в рассматриваемой задаче. Такие формы записи уравнений называются каноническими. Поскольку может быть много различных приложений, известно и много канонических форм [25]. Наиболее распростра-ненные из них: блочно-диагональная вещественная форма Жордана; управляемая форма Луенбергера (матрица Фробениуса). На рис.2.7 приведен пример представления системы матрицей Фробениуса, когда характеристическое уравнение располагается в последней строке.
Структурная математическая модель динамических процессов САУ обладает рядом преимуществ перед аналитическими описаниями или передаточными функциями. Во-первых, структурная модель дает ясное и наглядное представление понятию "состояние систем", как совокупность сигналов на выходах интеграторов. Во-вторых, однозначно представляется структура взаимодействий между переменными в виде системы с обратными связями, которые и определяют протекание динамических процессов. Одновременно структурные модели оказывают помощь при моделировании САУ на аналоговых или цифровых вычислительных машинах.