Проверка стационарности позволяет своевременно выявить факт появления тенденции (градиента) изменения данных. В ряде случаев это требует изменения режима наблюдения за объектами (например, повышения частоты контроля объектов). Наиболее часто для оценки стационарности результатов наблюдений используют следующие алгоритмы:
· алгоритм с использованием критерия серий;
· алгоритм с использованием модифицированного критерия серий;
· алгоритм на основе критерия восходящих и нисходящих серий;
· алгоритм на базе рангового критерия Кендала;
· алгоритм на основе критерия Аббе.
Наилучшие результаты получаются при последовательном использовании этих алгоритмов. Тогда решение о наличии (или об отсутствии) стационарности в ряде данных принимается, если об этом свидетельствуют результаты работы не менее чем трех из четырех перечисленных алгоритмов.
Алгоритм на основе критерия серий предусматривает построение на основании свойств исходного бинарного ряда Y наблюдений, принимающего значения только -1 или 1 по правилу:
Yi = 1, если Xi ≥ Xm,
Yi = -1, если Xi < Xm,
где: Xm - медиана исследуемого ряда.
Установлено, что если общее число серий серий (последовательностей только из подряд идущих 1 или -1) удовлетворяет условию
n, 1 - б/2 ≤ ≤ n, б/2,
(где n, 1 - б/2, n, б/2 - табулированные значения квантилей распределения при заданном критическом уровне значимости б и известном объеме наблюдений n), то гипотеза о стационарности и независимости случайного процесса принимается. В противном случае принимается гипотеза о наличии тренда процесса.
Процедура на основе модифицированного критерия серий предполагает, помимо вычисления числа серий еще и фиксирование самой длинной серии . Тогда гипотеза о стационарности процесса принимается, если одновременно выполняются условия:
> {0.5·[n + 1 - 1.96·(n - 1)0.5]},)
< [3.3·log(n + 1)].
В противном случае делается вывод о наличии зависимости между наблюдениями ряда и существовании тренда ряда.
Алгоритм на основе критерия восходящих и нисходящих серий.Данный алгоритм также исследует последовательности 1 и -1, но образованные по правилу:
ж 1, если xi + 1-xi і 0,
Yi = н
и -1, еслиxi + 1-xi < 0.
Статистики и вычисляются аналогично случаю "критерия серий", но должны удовлетворять следующим условиям:
> {0.33Ч(2Чn- 1) - 1.96Ч[(18Чn- 29) / 90]0,5},
>o (n),
ж 5, если nЈ 26,
где o (n) = н 6, если26 <n< 153,
и 7, если n і 153.
Алгоритм на базе рангового критерия Кендала.Алгоритм основан на вычислении числа случаев p, в которых xj >xi при j>i. Установлено, что p связано простым соотношением с коэффициентом ранговой корреляции Кендала с:
с= {4Чp/ [nЧ(n- 1)]} - 1,
z-статистика которого, приблизительно нормально распределена
z= {3ЧЧ[nЧ(n- 1)]0,5} / [2Ч(2Чn+ 5)]0,5.
Очевидно, что при заданном уровне значимости б выполнение неравенства z<Uбсвидетельствует об отсутствии тренда реализаций процесса (Uб - это квантиль нормального распределения).
Алгоритм на основе критерия Аббе.Критерий Аббе является критерием квадратов последовательных разностей и подсчитывает величину:
г(n) =q2Ч(n) / s2(n),
n - 1
где: q2(n) = 0.5Ч∑ (xi + xi+1)2 / s2(n);
i = 1
s2(n) - СКО.
Критическое значение гкр(n) при заданной значимости б и nЈ 59 табулировано, а при n> 60 определяется по формуле:
гкр(n) = 1 +Uб /[n+ 0,5Ч(1 +Uб2]0,5,
где Uб - квантиль нормального распределения.
Еслиг (n) Јгкр(n), то гипотеза о независимости результатов наблюдений отвергается (то есть данные не стационарны).
Очевидно, что установление факта появления нестационарности в данных требует дополнительного анализа и, как следствие, - необходимости прогнозирования. Стационарные данные в дополнительном анализе и в прогнозировании "не нуждаются".