Статистическое сглаживание

При анализе статистических данных весьма распространенной является ситуация, когда накопленных данных или мало, или они не отличаются достаточной достоверностью (точностью). В этой связи оказываются полезными методы робастой статистики, в частности, - методы статистического сглаживания данных. Сглаживание данных является специальной операцией усреднения (обычно, с помощью интерполяционных полиномов). Такая операция обеспечивает получение уточненного значения y^*_i по заданному значениюy_i и ряду близлежащих значений {…, y _i-1,y _i, y _i+1, …}, известных с заданной погрешностью.

Наиболее часто для статистического сглаживания данных используют:

· алгоритм линейного сглаживания по 3 точкам;

· алгоритм линейного сглаживания по 5 точкам;

· алгоритм нелинейного сглаживания по 7 точкам.

Алгоритм линейного сглаживания по 3 точкам.

Сглаживание выполняют с помощью многочленов. Например, формулыдляскользящего сглаживания по трем точкам имеют вид:

y^*₀=(1 / 3)∙(y_-1 +y₀+y₊₁);

y^*_-1= (1 / 6)∙(5∙y_-1+ 2∙y₀-y₊₁);

y^*₊₁= (1 / 6)∙(-y_-1+2∙y₀+5∙y₊₁),

где: y₀, y^*₀ - значения исходной и сглаженной функций в средней точке группы;

y_-1, y^*_-1 - значения исходной и сглаженной функций в левой точке группы;

y₊₁, y^*₊₁ - значения исходной и сглаженной функций в правой точке группы.

Примечание. Первые две формулы применяются для сглаживания крайних точек ряда, а нижняя формула - для сглаживания промежуточных точек ряда.

Алгоритм линейного сглаживания по 5 точкам. Реализуется с использованием следующих формул:

y^*_о= ( 3y_o + 2y₁ +y₂ -y₄ ) / 5;

y^*₁ = ( 4y_o + 3y₁ + 2y₂ +y₃ ) / 10;

y^*_i = (y_{i - 2} +y_{i - 1} +y_i +y_{i + 1} +y_{i + 2} ) / 5,

2 Ј i Јn- 2;

y^*_{n - 1} = (y_{n - 3} + 2y_{n - 2} + 3y_{n - 1} + 4y_n ) / 10;

y^*_n = ( 3y_n + 2y_{n - 1} +y_{n - 2} -y_{n - 4} ) / 5.

Алгоритм нелинейного сглаживания по 7 точкам. Обеспечивает усреднение на основе применения полинома третьей степени и реализуется применением следующих формул:

y^*_o = ( 39y_o + 8y₁ - 4 (y₂ +y₃ -y₄ ) +y₅ - 2y₆ ) / 42;

y^*₁ = ( 8y_o + 19y₁ + 16y₂ + 6 y₃ - 4y₄ - 7y₅ + 4y₆ ) / 42;

y^*₂ = (-4y_o + 16y₁ + 19y₂ + 12y₃ + 2y₄ - 4y₅ +y₆ ) / 42;

y^*_i = ( 7y_i + 6 (y_{i + 1} +y_{i - 1} ) + 3 (y_{i + 2} +y_{i - 2} ) - 2 (y_{i + 3} +y_{i - 3} )) / 21,

3 ЈiЈn- 3;

y^*_{n - 2} = (y_{n - 6} - 4y_{n - 5} + 2y_{n - 4} + 12y_{n - 3} + 19y_{n - 2} + 16y_{n - 1} - 4y_n ) / 42;

y^*_{n - 1} = (4y_{n - 6} - 7y_{n - 5} - 4y_{n - 4} + 6y_{n - 3} + 16y_{n - 2} + 19y_{n - 1} + 8y_n) / 42;

y^*_n = (-2y_{n - 6} + 4y_{n - 5} +y_{n - 4} - 4y_{n - 3} - 4y_{n - 2} + 8y_{n - 1} + 39y_n) / 42.