Сначала рассмотрим достаточные условия экстремума для функции двух переменных. Пусть в окрестности критической точки 
функция 
имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Рассмотрим определитель матрицы Гессе
= 
- ( 
) 
и
Если 
и 
, то в точке имеет минимум. Если 
и 
, то в точке имеет максимум.
Достаточные условия экстремума для функции 
переменных. Если определитель матрицы Гессе и все главные миноры больше 0, то эта стационарная точка является минимумом 
. Если ее определитель и все главные миноры меньше 0, то эта стационарная точка является максимумом . Если ее определитель и главные миноры имеют разные знаки, то вышеуказанная стационарная точка не является экстремумом функции .
Главным минором 
- го порядка матрицы называется минор, образованный её первыми строками и столбцами.
Рассмотрим последовательно случаи, когда возможно получение аналитического решения оптимальных задач без ограничений.
