Лекция 9.ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ.

Рациональной дробью называется отношение двух многочленов ‒ степени mи ‒ степениn,

Возможны следующие случаи:

1. Если , то применяют метод деления углом для исключения целой части.

2. Если и в знаменателе квадратный трехчлен , то применяют метод дополнения до полного квадрата.

Пример 1.

Решение:

Пример 2.

Решение:

3. Метод неопределенных коэффициентов при разложении правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Любую правильную рациональную дробь , где , можно представить в виде суммы простейших дробей:

гдеA, B, C, D, E, F, M, N,… ‒ неопределенные коэффициенты.

Для нахождения неопределенных коэффициентов надо правую часть привести к общему знаменателю. Так как знаменатель совпадает со знаменателем дроби правой части, то их можно отбросить и прировнять числители. Затем, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях xв левой и правой частях, получим систему линейных уравнений с n‒ неизвестными. Решив эту систему, найдем искомые коэффициенты A, B, C, D и так далее. А,следовательно, разложим правильную рациональную дробь на простейшие дроби.

Рассмотрим на примерах возможные варианты:

1. Если множители знаменателя линейны и различны:

2. Еслисреди множителей знаменателя есть краткие множители:

3. Если среди множителей знаменателя есть квадратный трехчлен, неразложимый на множители:

Примеры: Разложить на сумму простейших рациональную дробь. Проинтегрировать.

Пример1.

Так как знаменатели дробей равны, то должны быть равны и числители, т. е.

Далее сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях xв левой и правой частях. Получаем систему:

значит

поэтому

Пример 2.

Отсюда

Значит

Поэтому

тогда

Пример 3.

Значит

тогда