Лекция 3.ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. Числовые последовательности. Пределчисловойпоследовательности.

Пусть каждому натуральному числу nпоставлено в соответствие действительное число x_п. Тогда говорят, что задана последовательность чисел x₁, x₂, x₃, …, x_n, … .

Числа x₁, x₂, x₃, …, x_n, будем называть элементами (или членами)последовательности, x_n–общимчленомпоследовательности. Сокращенно последовательность обозначается .

Например:

1) 1, 3, 5, …, 2n – 1 – арифметическая прогрессия.

d = 2;x_n= 2n – 1; x₁₀₀ = 2 ·100 – 1 = 199.

d =x₂ – x_{1 =} x₃– x₂ = … – разность прогрессии.

2) – геометрическая прогрессия.

q= – знаменатель прогрессии.

x₅= ;

3)

x_n= ;

Определение 1.Последова­тельность {x_n} называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, то есть существуют числа mиMтакие, что любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенствам:

Пример:

В противном случаи последова­тельность {x_n} называется неограниченной.

Пример:

1, 2, 3, …, n – неограниченная последовательность.

Определение 2.Числоa называется пределом числовой последовательности {x_n}, если для любого сколь угодно малого ε> 0найдетсячисло N (номер), зависящее от ε, такое, что для всех натуральных чисел n>Nвыполняется неравенство:

Тогда последовательность {x_n} называется сходя­щейся,и в этом случае пишут:

Пример:

Для любого

Так как , то

Пусть , тогда .

Следовательно 99.

Например:

, тогда .