Основные характеристики систем с отказами

1. Вероятность отказа (потери требования), т.е. вероятность застать все приборы занятыми

2. Вероятность застать все приборы свободными

3. Вероятность застать k приборов занятыми

4. Среднее число занятых приборов

5. Коэффициент занятости

6. Коэффициент простоя

7. Абсолютная пропускная способность (т.е. среднее число требований, обслуживаемых системой в единицу времени)

8. Относительная пропускная способность

4.4. Система М|М|m с ограниченной очередью

Рассмотрим систему с m обслуживающими приборами и с фиксированным числом n мест для ожидания. Максимальное число требований, которые могут находиться в системе, равно m + n. Любое поступившее сверх этого числа требование получает отказ и покидает систему без обслуживания. Входящий поток, требований - простейший с интенсивностью λ, время обслуживания - показательное с параметром µ.

Для описания этой системы снова применима схема рождения и гибели. Процесс Q(t) принимает значения 0,1,..., m+n и имеет следующие интенсивности переходов:

Число состояний Q(t) конечно, условия эргодичности выполнены. Используя общее решение (5.4), находим предельные вероятности

При n=0 равенства (6.9) и (6.10) приводят нас к формулам Эрланга, а при n=∞ к формулам (6.3) для систем с неограниченной очередью. Формулы (6.9) позволяют определить все представляющие интерес характеристики стационарного режима работы. Так, вероятность потери требования в такой системе равна

Среднее число занятых приборов в установившемся процессе обслуживания равно

4.5. Система М|М|∞ ( немедленное обслуживание )

Как систему с бесконечным числом приборов можно рассматривать СМО, в которой интенсивность обслуживания такова, что очереди образуются крайне редко. Рассмотрим случай, который можно интерпретировать либо как наличие одного прибора, интенсивность обслуживания которого растет линейно с ростом числа ожидающих требований, либо как систему, в которой интенсивность обслуживания каждого из приборов постоянна и равна µ, но число приборов неограниченно, так что для любого вновь поступающего требования всегда найдется новое обслуживающее устройство. Поток требований, поступающих на обслуживание, простейший с интенсивностью λ, длительность обслуживания имеет показательное распределение.

Число требований Q(t), находящихся в системе в момент времени t, совпадает с числом приборов, занятых в этот момент обслуживанием. Процесс Q(t) является процессом рождения и гибели с множеством состояний Z⁺ = {0,1,...} и параметрами

Если р =λ/µ<∞, то процесс Q(t) - эргодический (см. теорему 5.1). Таким образом, стационарный режим существует, и вероятности состояния P_k для установившегося процесса находятся по формулам

Среднее число требований, находящихся в системе (равное числу занятых приборов обслуживания),

Среднее время пребывания требования в системе по формуле Литтла равно

что совпадает со средним временем обслуживания прибором одного требования.

4.6. Система М|М|m с ограниченный временем пребывания

Предположим, что в рассматриваемой системе заявка может находиться ограниченное время, которое мы будем называть допустимым временем пребывания заявки в системе. Таким образом, если время ожидания и время обслуживания в сумме окажутся больше допустимого времени, то заявка после истечения допустимого времени покидает систему и в последующем не оказывает влияния на функционирование этой системы. Будем считать, что допустимое время пребывания заявки в системе является показательной случайной величиной с параметром σ и стохастически не зависит от входного потока с интенсивностью λ и показательного времени обслуживания с параметром µ.

Процесс Q(t) - число заявок в системе (ожидающих и обслуживаемых) в момент времени t - является процессом рождения и гибели с интенсивностями

Так как при , то выполнены условия эргодичности, и стационарные вероятности P_k, согласно общим формулам для этой системы имеют вид при 0 ≤ k ≤ m

Формулы для определения P_к упрощаются, если µ=rσ , где r - целое число. В этом случае при 0 ≤ r ≤ m

Зная P_k, можно найти различные характеристики рассматриваемой смо.

4.7. Система М|М|m с ограниченным временен ожидания

Предположим, что в данной системе время ожидания в очереди ограничено случайной величиной, распределенной по показательному закону с параметром γ. В условиях такой системы обслуживания процесс Q(t) также является процессом рождения и гибели с параметрами

Условие эргодичности для этой системы выполнено, так как при , а финальные вероятности P_к определяются согласно (2.29) по формулам:

Формулы для определения P_к упрощаются, если µ = rγ, где r - целое число. В этом случае при 0 ≤ r ≤ m

Зная P_k, можно найти различные характеристики рассматриваемой СМО [6].

4.8. Система M|M|1|∞|S (замкнутая система)

Рассмотрим СМО, в которой имеется конечное число S источников нагрузки (возможных клиентов). Входящий поток требований не является больше пуассоновским (с бесконечным числом источников), а формируется конечной группой клиентов. Каждое требование либо находится в системе (состоящей из одного обслуживающего прибора и очереди), либо вне системы и рассматривается как находящееся на подходе к системе (поступающее). Момент Бремени поступления на обслуживание требования, находящегося вне системы, является случайной величиной, распределенной по показательному закону с параметром λ. Предполагается, что все клиенты действуют независимо друг от друга. Если в СМО находится k требований (Q(t)=k), то S-k требований находятся в числе поступающих, и интенсивность поступления требований в этом состоянии равна λ(S-k). Таким обра­зом, число требований в системе Q(t) - это случайный процесс рождения и гибели с множеством возможных состояний {0,1,...,S} и интенсивностями

где µ - параметр показательного распределения времени обслу­живания. Условия существования эргодического распределения выпол­нены, и используя общее решение (2.29), находим стационарные вероятности состояний этой системы:

Зная финальные вероятности состояний, нетрудно вычислить все характеристики стационарного режима работы этой системы.

4.9. Система M|M|∞|∞|S (замкнутая система)

Рассмотрим замкнутую СМО с S источниками нагрузки, неограниченным числом мест для ожидания и немедленным обслуживанием (т.е. каждое требование обслуживается в системе отдельным прибором). Мы снова находимся в условиях схемы рождения и гибели, в которой параметры процесса Q(t) задаются следующим образом:

Эта система также является эргодической. Для финальных вероятностей состояний имеем

где . Для вероятности P₀ имеем

Вычислим среднее число требований (равное среднему числу занятых устройств) в этой системе.

4.10. Система M|M|m|n|S (замкнутая система)

Предполагается, что имеется конечное число S требований (система замкнутая), причем интенсивность поступления каждого требования равна λ. Система содержит m одинаковых обслуживающих приборов с показательным временем обслуживания (среднее время обслуживания равно 1/µ). Кроме того, в системе имеется n мест для ожидания ( ). Если требование поступает в систему тогда, когда в ней уже имеется n+m требований, то требование теряется (т.е. возвращается в группу поступающих). Этот алгоритм обслуживания приводит к следующим значениям параметров процесса Q(t) (являющимся и в этом случае процессом рождения и гибели):

Пользуясь общим решением (5.4) при различных значениях k, находим

В области m≤k≤m+n имеем

ПРИМЕРЫ

Пример 1. Пусть имеется система M|M|m|n с параметрами λ = 3, µ=1, m = 1, n = 2. В качестве примера такой системы можно привести телефонную справочную службу с одним каналом связи и с возможностью держать две заявки в очереди. В справочную поступает простейший поток вызовов с интенсивностью 3 вызова в минуту. Время обслуживания распределено по показательному закону с параметром µ=1 (заявка/мин). Определим основные характеристики этой системы. Будем применять формулы п.4.4 для р = λ /µ = 3:

условное среднее время ожидания требования при условии, что оно принято к обслуживанию, равно

условное среднее время пребывания требования в системе при условии, что оно принято к обслуживанию, равно

т.е. распределение времени ожидания разрывно в точке t=0).

Пример 2. Пусть имеется система M|M|m|n с параметрами λ = 1, µ = 2, m = 2, n = ∞. Примером такой системы может служить сортировочная станция с двумя горками и с достаточным числом мест для ожидания прибывающих составов, так что можно считать, что ограничение на длину очереди отсутствует. На станцию прибывает простейший поток составов с интенсивностью 1 сост./ч, время раскатки состава имеет показательное распределение с параметром µ=2 сост./ч. Определим основные показатели этой системы. Будем применять формулы п.4.2 для р = λ/µ = 1/2 и р/m = 1/4 :

Отметим, что Fw(0)=1-p_q=0.9, т.е. распределение времени ожидания разрывно в нуле.

Пример 3. Рассмотрим систему М|М|m с параметрам m = ∞, λ = 5, µ = 1, p= λ/µ=5. Примерами такой системы могут служить системы водо­снабжения, газоснабжения, энергоснабжения, банковские системы. В данную систему поступают требования с интенсивностью λ = 5 требований в секунду. Время потребления имеет показательное распределение с параметром µ = 1 .

Будем применять формулы п.4.5:

Пример 4. Рассмотрим систему M|M|m|∞|S с параметрами m=1, λ=2, µ=2, S=3, р = λ/µ = 1. Примером такой системы может служить депо, имеющее 3 цеха, которые обслуживает одна ремонтная бригада. Необходимость в ремонтном обслуживании в каждом из цехов возникает через показательно распределенные промежутки времени c интенсивностью λ=2, время ремонтного обслуживания имеет то же показательное распределение с интенсивностью µ=2. Будем применять формулы п.4.8:

Пример 5. Рассмотрим систему M|M|m|∞|S с параметрами m=∞, λ=3, µ=3, S=5, р = λ/µ = 1. Примером такой системы может служить дисплейный класс с пятью компьютерами, обслуживаемый специа­листами. Каждый из компьютеров нуждается в обслуживании через показательно распределенные интервалы времени с интенсивностью λ=3, обслуживание начинается немедленно, как только в нем возни­кает необходимость, и длится случайное показательно распреде­ленное время с параметром µ=3. Для определения характеристик этой системы будем применять формулы п. 4.9:

Лекция №5 Марковские сети обслуживания. Основные понятия.