Распределение времени ожидания в стационарном режиме

Пусть W обозначает время ожидания начала обслуживания для очередного требования, поступающего в СМО с установившимся режимом, a Q - число требований, находящихся в этот момент в системе, . По формуле полной вероятности

Если k ≥ m-1, то в силу того, что W=0 с вероятностью 1, а если k ≥ m, то при условии Q=k

где независимые случайные величины, имеющие одинаковое показательное распределение с параметром µm, ибо выходной поток при непрерывной работе m приборов (k≥m), образующийся наложением m простейших потоков с параметром µ, является простейшим (см.разд.3) с интенсивностью µm. Следовательно,

Таким образом, с учетом формул (6.3).

Здесь

В результате приходим к формуле

С помощью этой формулы можно вычислить числовые характеристики, связанные со временем ожидания в стационарном режиме работы системы. Например, среднее время ожидания равно

что совпадает с результатом, полученным по формуле Литтла (1.4).

4.3. Система М|М|m с отказами

Система состоит из m одинаковых параллельно работающих устройств. Поток требований, входящих на обслуживание, - простейший с интенсивностью λ. Времена обслуживания на каждом из устройств - независимые одинаково распределенные случайные величины, имеющие показательное распределение с параметром µ.

Каждое требование, поступившее в систему в момент, когда имеется хотя бы одно свободное устройство, начинает немедленно обслуживаться. Если в момент поступления очередного требования нет свободных устройств, то требование покидает систему без обслуживания (теряется). Такой алгоритм обслуживания характерен для телефонных сетей.

Если случайный процесс Q(t) - число требований, находящихся в СМО в момент времени t (совпадающее с числом занятых приборов), то Q(t) является процессом рождения и гибели с параметрами

Процесс Q(t) при любых λ и µ обладает эргодическим распределением , удовлетворяющим уравнениям

а решение системы (6.7) по (5.4) имеет вид

где загрузка системы. Система (6.7) для определения

финальных вероятностей называется системой Эрланга, а формулы (6.8) - формулами Эрланга. Эти формулы важны при расчете телефонных сетей и других СМО с отказами.