Марковское свойство показательного распределения

Источником марковости случайных процессов в системах с показательным распределением элементов управляющих последовательностей {u_k} и {v_k } является свойство отсутствия последействия.

Рассмотрим показательно распределённую случайную величину и с функцией распределения P{u < t} = 1–е^-λt, t ≥ 0. Докажем, что она обладает марковским свойством, т.е. что прошлая история показательно распределённой случайной величины при фиксированном настоящем не играет никакой роли в предсказании её будущего. Это свойство называется свойством отсутствия последействия. Сформулируем его более точно. Предположим, что в момент времени 0 поступило требование. Вероятность того, что следующее требование поступит в течение времени t равна P{u < t} = 1 –е^-λt. Теперь допустим, что в течение времени τ > 0 требования не поступали. Вычислим вероятность того, что следующее требование поступит за время t, считая с момента τ, т.е. условную вероятность P{u < t + τ | u ≥ τ}. Имеем

Результат вычислений показывает, что условное распределение времени, оставшегося до поступления следующего требования, при условии, что с момента поступления предшествующего требования уже прошло время τ, совпадает с безусловным распределением промежутков времени между соседними требованиями. Следовательно, время до поступления следующего требования не зависит от того, сколько времени прошло с момента поступления предыдущего. Непосредственные вычисления показывают, что

Отметим, что если u₁,u₂,...,u_k - независимые показательно распределённые случайные величины с параметрами λ₁, λ₂,..., λ_k, то для любого t > 0 справедлива формула

где λ = λ₁ + λ₂ + ... + λ_k, t ≥ 0.