Вероятностные процессы в СМО

Под состоянием системы обслуживания понимают значения различных числовых характеристик, связанных с вызовами, находящимися в данный момент времени в системе (т.е. поступившими в СМО, но еще не обслуженными). Изучение случайных процессов, описывающих поведение во времени этих характеристик, и составляет основное содержание математической теории систем с очередями.

Для того чтобы определить представляющие интерес случайные процессы, рассмотрим систему обслуживания общего вида G|G|m|n (возможно n = 0 или n = ∞). Многие важные проблемы, возникающие при анализе СМО, связаны со следующими процессами.

1. Q(t) - число требований, находящихся в системе в момент времени t. При m < ∞ в Q(t) входят как обслуживаемые, так и ожидающие в очереди требования. Если m = ∞, то Q(t) - число занятых обслуживающих приборов.

2. q(t) = max (0, Q(t) - m) - число требований, ожидающих в очереди в момент времени t.

3. W(t) - виртуальное (возможное) время ожидания требования, пришедшего в момент времени t.

Кроме этих основных процессов, важными являются также последовательности случайных величин, характеризующие процесс обслуживания.

1. W_k - случайное время ожидания (в очереди) k-го требования, k=1,2,... .

2. Т_k = W_k, + V_k, k = 1,2,... - случайное время пребывания в системе (очередь плюс обслуживание).

Определенные выше случайные процессы с дискретным и непрерывным временем описывают возможные состояния СМО. Знание их полного вероятностного описания желательно, но не обязательно и к тому же связано с решением сложных математических вопросов. На практике часто ограничиваются вычислением функционалов (числовых характеристик) от этих процессов и моментов (средних, дисперсий и т.д.) случайных величин, называемых показателями эффективности СМО. Например, для систем с ожиданием такими показателями являются:

- среднее число требований и средняя длина очереди в системе соответственно;

W, Т - среднее время ожидания и среднее время пребывания в системе;

- среднее время обслуживания.

Эти средние характеристики СМО, вообще говоря, зависят от времени t. В практических задачах интересуются значениями этих характеристик при t → ∞, что соответствует стационарному режиму работы системы. В таком режиме начальное состояние СМО уже не оказывает никакого влияния на поведение системы, и ее показатели не зависят от времени t. Определение характеристик СМО для стационарного режима упрощает исследование и вместе с тем позволяет выбрать способы разумной организации СМО.

Кроме перечисленных выше характеристик систем, в стационарном режиме большую, роль играют следующие показатели:

Р₀ - вероятность застать систему свободной;

Р_к - вероятность того, что в системе находится k требований;

- вероятность того, что система занята (имеется очередь);

р = λ / µ - загрузка системы;

р / m - загрузка СМО, приходящаяся на один прибор.

Для СМО с отказами важными характеристиками являются:

Р_k - вероятность того, что в системе находится k требований (k ≤ m), т.е. к приборов заняты обслуживанием;

Р_m - вероятность отказа;

= - среднее число приборов, занятых обслуживанием;

/m - коэффициент использования прибора;

1 - /m - коэффициент простоя системы;

P_o - вероятность простоя системы;

(1 - P_m) - относительная пропускная способность;

λ (1 - P_m) - абсолютная пропускная способность.

р = λ / µ - загрузка системы;

р / m - загрузка СМО, приходящаяся на один прибор.