Уравнения Максвелла

Определим работу источника тока, которую он должен совершить, чтобы в контуре с индуктивностью создать ток . Работа источника, по перемещению заряда против ЭДС индукции равна: . Она же равна увеличению энергии магнитного поля контура при увеличении в нем тока на . Полную энергию магнитного поля контура с током получим после интегрирования:

. (21.1)

В частности, энергия магнитного поля в куске безграничного соленоида длиной будет равна:

.

В преобразованиях мы использовали результаты 20.3 и 16.6. Окончательный результат дает нам энергию однородного магнитного поля в объеме . Используя его, можем определить объемную плотность энергии магнитного поля:

. (21.2)

В случае неоднородного магнитного поля его энергия в любом объеме может быть найдена интегрированием по этому объему:

. (21.3)

Энергетические соотношения могут быть использованы и для нахождения индуктивностей проводников. Покажем это на третьем примере, рассмотренном в предыдущем параграфе.

Определяем энергию магнитного поля на единицу длины коаксиального кабеля, а затем и индуктивность единицы длины:

.

Получили тот же результат, что и при использовании для вывода выражения (20.2).

Уравнения Максвелла

Максимальное обобщение электродинамики в терминах электрического и магнитного полей было сделано Джеймсом Максвеллом (J. C. Maxwell, A treatise on electricity and magnetism, v.1,2, 1873). Уравнения Максвелла описывают свойства электрического и магнитного полей, а также взаимосвязь между ними.

С некоторыми из этих уравнений мы уже знакомы. Выпишем их еще раз. Первое уравнение Максвелла говорит нам о том, что источниками электрического поля являются электрические заряды:

.

Второе уравнение утверждает, что магнитные заряды отсутствуют:

.

Третье уравнение – обобщение закона электромагнитной индукции:

.

Четвертое уравнение у нас пока есть в усеченной форме:

.

Поскольку переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле, Максвелл предположил, что другим источником магнитного поля, кроме токов, должно быть переменное электрическое поле.

Пусть в четвертом уравнении Максвелла есть еще одно, не известное нам пока слагаемое: . Вычислив дивергенцию левой и правой части, слева получим ноль, поскольку дивергенция всякого ротора равна нулю. Тогда для дивергенции векторного поля получим: .

Для определения дивергенции плотности тока определим поток вектора через произвольную замкнутую поверхность . Он будет равен току через эту замкнутую поверхность, который будет определять заряд , пересекающий замкнутую поверхность за время . Если поток положителен, переменная определяет полный заряд, ограниченный замкнутой поверхностью в данный момент времени, то будет справедливо утверждение: . Используем частную производную, чтобы зафиксировать неизменность замкнутой поверхности, поток вектора через которую мы находим. Далее воспользуемся теоремой Гаусса и получим для дивергенции плотности тока следующее значение:

. (22.1)

Полученное уравнение называют уравнением непрерывности для векторного поля плотности тока. Заменим объемную плотность заряда в этом уравнении, воспользовавшись первым уравнением Максвелла :

.

Теперь определим недостающее слагаемое в четвертом уравнении Максвелла:

.

Окончательно для ротора магнитного поля получим следующее выражение:

.

Сам Максвелл получил этот результат, анализируя цепи переменного тока с конденсаторами. Он предложил замкнуть цепь с током и в той области между обкладками конденсатора, в которой никаких движущихся зарядов не было. Для этого он ввел ток смещения, плотность которого равна

.

В заключение еще раз выпишем вместе уравнения, которые описывают электрическое и магнитное поля, как постоянные, так и меняющиеся во времени. Они показывают неразрывную связь этих полей, поэтому их называют уравнениями электромагнитного поля Максвелла:

(22.2)

Уравнения Максвелла несимметричны для электрического и магнитного поля. Описание электродинамики с помощью уравнений (22.2) не единственно возможное. Однако именно это описание используется для электромагнитного поля, оторвавшегося от его источников – токов и зарядов. Этот новый объект – электромагнитные волны, к описанию которых мы и перейдем далее.