Решение уравнений Максвелла в вакууме

В вакууме объемная плотность заряда и плотность тока в любой точке равны нулю. Уравнения Максвелла будут выглядеть следующим образом:

(23.1)

Получим уравнения, в которые будут входить только электрическое или только магнитное поле. Для этого вычислим ротор левой и правой части третьего уравнения Максвелла:

.

Ротор магнитного поля в правой части заменим в соответствии с четвертым уравнением Максвелла. Кроме этого учтем, для всякого векторного поля, в том числе для электрического поля, :

.

Мы учли, что дивергенция вектора равна нулю в силу первого уравнения Максвелла. Итак, для электрического поля в вакууме получили уравнение:

. (23.2)

Аналогичным образом можно получить такое же уравнение для магнитного поля.

. (23.3)

Уравнения (23.2), (23.3) совпадают с волновым уравнением, которое описывает акустическую волну в изотропной сплошной среде(Механика, 28.3):

.

В этом уравнении - скорость акустической волны.

Получив волновое уравнение для электромагнитного поля, Максвелл, по аналогии с акустическими волнами, предположил, что электромагнитные волны должны распространяться со скоростью света. Более того, и сам свет – это электромагнитные волны. Если световые пучки экспериментаторы в середине 19 века получать умели, то электромагнитные волны за счет колебаний токов в проводниках или колебаний напряженности электрического поля, например, в конденсаторе – нет. Открытие электромагнитных волн Максвеллом “на кончике пера” ждало экспериментального подтверждения, которое впервые было получено Г. Герцем.

Рассмотрим волну, распространяющуюся вдоль оси х. В этом случае волновой фронт перпендикулярен оси х. Электрическое и магнитное поле волны от y и z координат не зависят. Тогда для проекции получим:

.

Считаем всюду равной нулю, поскольку это величина постоянная, а в тех точках пространства, куда волновой фронт еще не добрался, электрическое поле отсутствует. Аналогичный результат мы получим и для проекции.

Полученный результат говорит нам о том, что электромагнитные волны – поперечные волны. И электрическое и магнитное поле бегущей волны перпендикулярны направлению ее распространения.

Остается определить и . Волновое уравнение для этих проекций разделяется и общее решение будет линейной комбинацией решений для каждой проекции. Решением уравнения для будет функция:

,

где - волновое число.

Определим магнитное поле в плоской волне, связанное с электрическим полем . Вычислим ротор вектора :

. (23.4)

После подстановки решения для , получим уравнение для :

,

решение которого будет равно:

.

Амплитудные значения электрического и магнитного полей равны. Сами поля взаимно перпендикулярны. Электромагнитная волна, которую мы получили, изображена на рис.23.1.

Рис.23.1

Общее решение уравнений (23.2, 23.3) для плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении в выбранной системе координат, может быть представлено в экспоненциальном виде:

, (23.5)

где - волновой вектор. Он перпендикулярен фронту плоской волны и совпадает с направлением ее распространения. Для поперечной электромагнитной волны

. (23.6)

Действительно, для точки А на рисунке 23.1 циркуляция по контуру в плоскости xy будет отрицательной и определит направление магнитного поля в соответствии с уравнением (23.4). Частная производная магнитного поля по времени в этой точке будет положительной, поскольку в бегущей волне в этой точке амплитуда вектора магнитного поля растет.

Изображенная на рис.23.1 электромагнитная волна называется плоско или линейно поляризованной. Первое определение связано с тем, что и вектор и вектор в ней каждый колеблется в одной плоскости. Второе определение связано с тем, что проекции этих векторов на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, - прямые отрезки (линии). Эта волна будет также монохроматичной (одноцветной) в том смысле, что ее длина

неизменна и в оптическом диапазоне она окрашена в один цвет. Здесь - период колебаний, - частота колебаний, - циклическая частота колебаний.